¿Cuál es la superficie de este triángulo?

Answer 1

Si coloca el origen en uno de los vértices del triángulo (digamos el punto inferior izquierdo del cubo), los otros dos vértices son los vectores:

[matemáticas]
\ vec {v_1} = a \ mathbf {i} + a \ mathbf {j}
[/matemáticas]

[matemáticas]
\ vec {v_2} = a \ mathbf {i} + a \ mathbf {k}
[/matemáticas]

[math] \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} [/ math] son ​​los vectores unitarios a lo largo de [math] X, Y [/ math] y [math] Z [/ math] hachas.

El área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo barrido por los vectores, que es igual al valor absoluto de su producto cruzado.

Por lo tanto, el área del triángulo, [matemáticas] A [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1/2 | \ vec {v_1} \ veces \ vec {v_2} | [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1/2 \ begin {vmatrix}
\ mathbf {i} y \ mathbf {j} y \ mathbf {k} \\
a & a & 0 \\
a & 0 & a
\ end {vmatrix} [/ math] (usando http://en.wikipedia.org/wiki/Cro…)

[matemáticas] = | (a ^ {2} \ mathbf {i} – a ^ {2} \ mathbf {j} – a ^ {2} \ mathbf {k}) | [/matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {3} a ^ {2} / 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Al observar la geometría, el lado del triángulo es un sqrt2
Entonces el área de superficie es = (Raíz (3) / 4) * (lado) ^ 2
En este caso, la respuesta es = Root (3) * a ^ 2/2

Answer 3

Dean tiene razón, solo agregaré más detalles.

Cada lado es sqrt (2) * a – puedes usar el teorema de Pitágoras para encontrarlo.

1 – Por definición, en un triángulo equilátero, la superficie es -lo siento, no sé escribir en LaTex- (X ^ 2) * (sqrt (3) / 4) (y X es la longitud de un lado, entonces X = sqrt (2) * a.
Entonces, aquí, la superficie es ((sqrt (2) * a) ^ 2) * (sqrt (3) / 4) = (sqrt (3) / 2) * (a ^ 2).

2 – Por definición (nuevamente, siempre), en un triángulo equilátero, la altura (o altitud) es (sqrt (3) / 2) * X (X es el lado nuevamente)
Por definición, superficie = (lado * altura) / 2.
Simplemente reemplace X por su valor y haga los cálculos. Mismo resultado.

Answer 4

cada lado del triángulo es sqrt (2) * a. Es un triángulo equilátero, entonces A = sqrt (3) / 4 * (lado ^ 2).
A = (sqrt (3) / 2) a ^ 2