Cómo demostrar que los puntos [matemática] (3, -1), (5, 4), (-5, 8) [/ matemática] y [matemática] (- 7, 3) [/ matemática] son ​​los vértices de un rectángulo y dibujar un rectángulo

Answer 1

[matemática] A (3, -1), B (5,4), C (-5,8), D (-7,3) [/ matemática]

[matemáticas] AB = \ sqrt {(4 + 1) ^ 2 + (5–3) ^ 2} = \ sqrt {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] BC = \ sqrt {(8–4) ^ 2 + (- 5–5) ^ 2} = \ sqrt {116} = 2 \ sqrt {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] CD = \ sqrt {(3–8) ^ 2 + (- 7 + 5) ^ 2} = \ sqrt {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] DA = \ sqrt {(3 + 1) ^ 2 + (- 7–3) ^ 2} = 2 \ sqrt {29} [/ matemáticas]

Bien, entonces tenemos 2 pares de lados que son iguales. Pero esto no es suficiente para demostrar que [math] ABCD [/ math] es un rectángulo.

[matemáticas] m_ {AB} = \ dfrac {4 + 1} {5–3} = \ dfrac {5} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {BC} = \ dfrac {8–4} {- 5–5} = – \ dfrac {2} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {CD} = \ dfrac {3–8} {- 7 + 5} = \ dfrac {5} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {DA} = \ dfrac {3 + 1} {- 7–3} = – \ dfrac {2} {5} [/ matemáticas]

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Ahora,

[matemáticas] m_ {AB} = m_ {CD} \ implica AB \ CD paralelo [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {BC} = m_ {DA} \ implica BC \ paralelo DA [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {AB} \ cdot m_ {BC} = – 1 \ implica AB \ perp BC [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {AB} \ cdot m_ {DA} = -1 \ implica AB \ perp DA [/ matemáticas]

[matemáticas] m_ {BC} \ cdot m_ {CD} = – 1 \ implica BC \ perp CD [/ matemáticas]

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Ahora esto debería ser suficiente para demostrar que [math] ABCD [/ math] es un rectángulo.

¡Hecho!

Answer 2

Podrías comenzar trazándolos, para que sepas qué pares forman lados del cuadrilátero. Examine los productos de punto para cada uno de los cuatro lados. Si los lados adyacentes son perpendiculares, los productos de punto serán cero. En su lugar, podría mostrar que los productos de las pendientes de los lados adyacentes son iguales a -1, mostrando nuevamente que son perpendiculares. Una vez que ha demostrado que los lados adyacentes de un cuadrilátero son perpendiculares, ha demostrado que es un rectángulo, ya que esta es la definición (los cuadrados son casos especiales de rectángulos). Una implicación de esta definición es que los lados opuestos tienen la misma longitud.

Answer 3

Creo que esto sería suficiente:

Deje que las cuatro esquinas (vértices) se llamen a, b, c y d.
Deje que los cuatro lados (vectores) se llamen ab, bc, cd y da.

Muestre que el producto escalar de dos vectores consecutivos es 0 (lo que significa que los lados adyacentes están en ángulo recto).
Demuestre que ab = – (cd) y bc = – (da) (lo que significa que los lados opuestos son paralelos y de igual longitud).

Answer 4

sabes que un triángulo tiene 4 lados, de los cuales 2 pares son paralelos. Entonces 2 lados deben tener la misma longitud y el mismo gradiente. Los otros 2 lados tienen la misma longitud y gradiente. También puede probar que los lados son perpendiculares entre sí tomando el producto de su gradiente. Si el producto es negativo, los lados son perpendiculares.

Tenga en cuenta que los lados con diferentes longitudes serán perpendiculares entre sí y los lados con la misma longitud son paralelos entre sí.

Answer 5

Pregunta imprecisa. ¿Debemos asumir las coordenadas cartesianas (grillas)?

De lo contrario, no es un rectángulo en todos los espacios métricos.
[trama cortesía de shodor.org (coordenadas polares) ]
Esta es la gráfica que usa coordenadas polares planas con radianes como medida circular. Podría ser más claro usando un modelo en espiral (como en la escalera).

En una esfera, sería diferente.
Usando estas coordenadas como grados [Latitud, longitud],
donde menos es oeste o sur [mapa de EarthExplorer]
(3, -1) 3N, 1W está frente a la costa en Accra, Ghana
(5, 4) 5N, 4E está en el Golfo de Guinea, frente a Bayelsa, Nigeria
(-5,8) 5S, 8E está fuera de la frontera Congo / Gabón (¡No sé de quién es el territorio costero!)
(-7,3) 7S, 3E está más lejos en el mar

Parece un poco rectangular, pero como está en un globo terráqueo, no lo es (los ángulos sumarían un poco más de 360 ​​°).

Answer 6

Llame a los puntos [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] respectivamente. Mediante un trazado aproximado, los vértices del cuadrilátero, en orden, son [matemática] ABCD [/ matemática]. Entonces las diagonales son [math] AC [/ math] y [math] BD, [/ math] cuyas longitudes son ambas [math] \ sqrt {145} [/ math]. Como las diagonales son iguales, el cuadrilátero es un rectángulo.

Answer 7

tomar un gráfico y trazar los puntos en el eje x e y y luego unir los vértices, o puede usar la propiedad de pendiente
pendiente (m) = (y2-y1) / (x2-x1)
Si la pendiente de dos aristas es igual, significa que son paralelas.
si son paralelos, verifique su longitud de bordes si son iguales también para lados opuestos, entonces debe verificar el ángulo correcto utilizando ecuaciones de líneas.

Answer 8

Para que el cuadrilátero definido por esos cuatro vértices, trazados en ese orden, sea un paralelogramo, los pares de lados deben ser paralelos. Entonces, todo lo que necesita hacer es mostrar que las pendientes de las líneas entre el primer y segundo vértices y el tercero y el cuarto son paralelas, y lo mismo para los otros dos. Para que sea un rectángulo, las pendientes son las inversas. Las pendientes del segmento de línea desde el primer vértice hasta el segundo vértice son (5-3) / (4 + 1) = 2/5. Del segundo al tercero es (-5-5) / (8-4) = -5/2. Del tercero al cuarto es (-7 + 5) / (3-8) = 2/5. Del cuarto al primero es (3 + 7) / (- 1-3) = -5/2. Entonces, es un rectángulo.