¿Cómo se resolvería esto?

Answer 1

Lo primero que debe tener en cuenta es que ambos hexágonos son regulares, por lo que el hexágono más grande es una versión “ampliada” del hexágono más pequeño.

A continuación, observamos que se indica la longitud de los segmentos de línea que conectan el centro del hexágono con el centro de sus lados. Por lo tanto, se pueden determinar los factores de escala

Factor de escala lineal [matemática] l = \ frac ab = \ frac 2 {\ sqrt 3} [/ matemática]
Factor de escala de área [matemática] m = l ^ 2 = \ frac 43 [/ matemática]

Para encontrar el área sombreada, aún necesitamos encontrar las áreas de cualquiera de los hexágonos, en este caso será más fácil encontrar el área del más pequeño.

Dividamos el hexágono en 6 triángulos equiláteros, luego la longitud lateral de cada uno de ellos será [matemática] a [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] \ nombre de operador {Área} (\ text {triángulo}) = \ frac {\ sqrt 3} {4} a ^ 2 [/ matemáticas]

Finalmente,
[math] \ operatorname {Area} (\ text {Shaded}) = [/ math] [math] \ operatorname {Area} (\ text {Large Hexagon}) [/ math] – [math] \ operatorname {Area} ( \ text {Small Hexagon}) [/ math]

Sobre la simplificación usando
[math] \ operatorname {Area} (\ text {Large Hexagon}) = [/ math] [math] m \ cdot \ operatorname {Area} (\ text {Small Hexagon}) [/ math] y [math] \ operatorname {Area} (\ text {Small Hexagon}) = [/ math] [math] 6 \ cdot \ operatorname {Area} (\ text {Triangle}) [/ math]
obtenemos la respuesta requerida como [math] \ frac {\ sqrt3} 2 a ^ 2 = 216 \ sqrt 3 [/ math]

Extra:
¡El valor de [math] a [/ math] es suficiente para resolver esta pregunta!
Para esta configuración, [math] b [/ math] siempre es [math] \ frac {\ sqrt3} 2 a [/ math]

Answer 2

Si ves de cerca

Cada hexágono se puede dividir en 12 triángulos. En el caso de un hexágono regular, los triángulos divididos son iguales en área.

1) Para el hexágono más pequeño.
El área de un solo triángulo en él sería (0.5 * longitud perpendicular * base).
Su longitud perpendicular es 18. En el triángulo, la longitud 12√3 es el hipoteno del triángulo rectángulo, por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, su base sería √ ((12√3) ^ 2 + 18 ^ 2). Que es 6√3. Por lo tanto, el ángulo subtendido en el centro sería tan ^ -1 (6√3 / 18) tangente inversa de la relación 6√3 / 18. Por lo tanto, el ángulo es de 30 °.
Por lo tanto, el área del triángulo es 0.5 * 6√3 * 18 = 54√3. Para el hexágono el área es 1
2 * 54√3 = 648√3.

2) Para el hexágono más grande.
En el triángulo más grande creado por el hexágono más grande, el ángulo subtendido en el centro permanece igual. Por lo tanto, la longitud de la base en este caso sería 12√3 * tan30 ° = 12
Por lo tanto, el área del triángulo sería 0.5 * 12√3 * 12 = 72√3
Por lo tanto, el área del hexágono más grande es 12 * 72√3 = 864√3.

3) El área de la parte sombreada
El área si la región sombreada es igual al área del hexágono más grande restando el área del hexágono más pequeño.
Que es 864√3-648√3 = 216√3.

_Allí vas … tu respuesta es c).

Todas las longitudes en cm y áreas en cm * cm.

Answer 3

El área del área gris es el área del hexágono grande menos el área del hexágono pequeño. Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros, y el área de un triángulo es base x altura / 2.

Ahora, ¿cómo podemos encontrar la base y la altura de estos triángulos? Ya tenemos las alturas, que se dan en la imagen. Lo que debe tener en cuenta en este problema es que la altura se puede utilizar para derivar la base, porque estamos tratando con triángulos equiláteros.

Esperamos ver que la mitad de la base junto con la altura forman un triángulo rectángulo. Y los lados de los triángulos rectángulos satisfacen el teorema de Pitágoras. Deje [math] x [/ math] ser la longitud del lado del hexágono grande. Entonces,

[matemáticas] x ^ 2 = (x / 2) ^ 2 + (12 \ sqrt3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow x ^ 2 – x ^ 2/4 = (12 \ sqrt3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow 3/4 x ^ 2 = (12 \ sqrt3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow \ sqrt3 / 2 \ times x = 12 \ sqrt3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Leftrightarrow x = 24 [/ matemáticas]

Entonces, el área del hexágono más grande es [matemáticas] 6 \ veces 24 \ veces 12 \ sqrt3 / 2 = 864 \ sqrt3 [/ matemáticas].

Usando exactamente el mismo razonamiento, pero ahora considerando el pequeño hexágono, puedes encontrar que su lado es [matemática] 12 \ sqrt 3 [/ matemática]. De hecho, en realidad no necesita rehacer estos cálculos, ya que el problema ya le brinda esta información (el lado del hexágono pequeño es igual a la apotema del hexágono grande). Como tal, el área del hexágono pequeño es [matemática] 6 \ veces 12 \ sqrt 3 \ veces 18/2 = 648 \ sqrt3 [/ matemática].

La diferencia, entonces, es simplemente [matemáticas] (864 – 648) \ sqrt 3 = 216 \ sqrt 3 [/ matemáticas].

Answer 4

Como puede ver, hay dos hexágonos diferentes en la pregunta, uno más grande y otro más pequeño.

Por lo tanto, para encontrar el área total de las regiones sombreadas, debe encontrar el área del hexágono más pequeño y quitarlo del área del más grande.

Área de hexágono más pequeño
Como los hexágonos se pueden dividir en 6 triángulos equiláteros, para encontrar el área total, simplemente necesitamos encontrar el área de un solo triángulo.

Como se indica en la pregunta, la longitud de cada lado del triángulo será [matemática] 12 \ sqrt3 [/ matemática].

Además, en la pregunta se nos da que la altura de cada triángulo es [matemática] 18 cm [/ matemática].

Por lo tanto, utilizando la fórmula para el área de un triángulo – [matemática] A = \ frac {1} {2} bh [/ matemática], el área de un triángulo [matemática] A = \ frac {1} {2} * 18 * 12 \ sqrt3 [/ matemáticas].

Por lo tanto, el área total para el hexágono más pequeño es 6 veces esto, que es [matemática] 648 \ sqrt3 [/ matemática].

Área de hexágono más grande
Para este hexágono, podemos usar el teorema de Pitágorus para calcular la longitud del lado del hexágono.

Si [math] x [/ math] denota la longitud del lado, entonces
[matemáticas] x ^ 2 = (\ frac {x} {2}) ^ 2+ (12 \ sqrt3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2- \ frac {x ^ 2} {4} = (12 \ sqrt3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ sqrt3} {2} * x = 12 \ sqrt3 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {12 \ sqrt3} {\ frac {\ sqrt3} {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 24 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el área de este hexágono más grande es [matemática] 6 * 24 * \ frac {12 \ sqrt3} {2} = 864 \ sqrt3 [/ matemática]

Por lo tanto, para el área sombreada [matemática] A [/ matemática],
[matemáticas] A = 864 \ sqrt3-648 \ sqrt3 = 216 \ sqrt3 [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es [matemáticas] C [/ matemáticas].
Espero que este método haya ayudado!

Answer 5

Por favor, disculpe la mala calidad de imagen. ¡Espero que esto ayude!

Answer 6

Un hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros conectando ángulos a través del centro. Una vez que sepas esto, lo que queda es pan comido.
Pequeño hex = 6 x ( b. A ) / 2
Conseguir la base del hexágono grande es complicado. Llamémoslo c . Se puede hacer de una de dos maneras.
1. a biseca el ángulo del triángulo equilátero (que es 60 grados), por lo que tendrá
tan ( 30 ) = ( c / 2 ) / a por lo tanto c = 2.a. tan ( 30 ) o c = 2.a. raíz ( 3 ) / 3
2. La relación entre la línea radial y la línea perpendicular del hexágono pequeño ( a / b ) y el hexágono grande ( c / a ) será igual ya que tienen la misma forma; es decir
a / b = c / a por lo tanto c = ( a ^ 2 ) / b
Este sería un buen momento para verificar si el método uno y dos producen los mismos resultados para c enchufándolos, es decir, si dudas de mi genio 😉
Como ahora tenemos c (por cualquier medio):

Hexagonal grande = 6 x (ac / 2)
Sombreado = LS = 6 x [(ac / 2) – (b. A) / 2]

Disfruta de enchufar y tragar porque eso realmente no es lo mío 🙂

Answer 7

Answer 8

Bueno, comenzaría notando que un hexágono regular se puede dividir perfectamente en triángulos equiláteros. Y si conozco el lado de un triángulo equilátero, o su altitud, es fácil encontrar el área.