El volumen de las esferas sería [matemático] V_L = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 [/ matemático] y [matemático] V_s = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas] donde R = 10r. Al dividir los dos se obtiene [matemática] \ frac {V_L} {V_S} = \ frac {R ^ 3} {r ^ 3} = 10 ^ 3 = 1000 [/ matemática], entonces la relación del volumen de una esfera grande a una esfera pequeña es 1000: 1, lo que significa que si las esferas fueran líquidas, podrías colocar 1000 de ellas en la esfera grande.
Sin embargo, las esferas no son líquidas, por lo que inevitablemente habrá lagunas. El tamaño de estos espacios en relación con el volumen de las esferas pequeñas se enmarca en el concepto de eficiencia de empaquetamiento que se refiere a la relación del volumen combinado de las esferas pequeñas con el volumen total de espacio que ocupan. El número de esferas pequeñas que puede caber en la esfera grande será igual a 1000 veces la eficiencia de empaque de las esferas.
Desafortunadamente, determinar esta eficiencia de empaque no es una tarea fácil. Si sus esferas se organizaron de una manera ordenada y agradable en un contenedor agradable y amigable, como un cubo con una longitud lateral divisible por el diámetro de su esfera (vea la imagen a continuación), entonces simplemente podría calcular el volumen de la esfera en cada celda unitaria (en química inorgánica y física de estado sólido, una celda unitaria se define como la unidad más pequeña en un cristal que se repite sobre el volumen del cristal) y se divide por el volumen de la celda unitaria para obtener la eficiencia del empaque. Una esfera no es tan amigable como un cubo y, además, sus esferas pequeñas, si las descarga en la esfera grande, podrían terminar en cualquiera de una amplia gama de arreglos de embalaje y, por lo tanto, en una serie de diferentes eficiencias de embalaje . Dicho esto, hay una disposición de empaque conocida como empaque cerrado aleatorio (para hacer una analogía con lanzar monedas, esto sería el equivalente a lanzar 50% de caras y 50% de colas) que tiene una eficiencia de empaque de 64%. Tomando la eficiencia de empaque del empaque aleatorio como una estimación aproximada, entonces, finalmente podemos responder a la pregunta inicial: si se distribuyen al azar, entonces puede colocar aproximadamente 640 esferas en una esfera más grande con 10 veces el radio de las esferas más pequeñas .
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Lectura adicional: embalaje de esfera