¿Qué triángulo pitagórico primitivo tiene un área igual a 1/2 de su perímetro?

Answer 1

Problema interesante!

Primero, escriba la ecuación general para resolver que iguala el área de cualquier triángulo con la mitad de su perímetro. La fórmula de Heron es útil para lograr esto.

Ecuación 1
[matemáticas]
A = \ sqrt {s (s – a) (s – b) (s – c)} = s.
[/matemáticas]

Aquí, [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​las longitudes laterales del triángulo en cuestión y [matemática] s = \ frac {1} {2} (a + b + c) [/ matemáticas].

Se sabe que las soluciones para los triples pitagóricos primitivos se pueden parametrizar mediante

[matemáticas]
a = u ^ 2 – v ^ 2
[/matemáticas]
[matemáticas]
b = 2uv
[/matemáticas]
[matemáticas]
c = u ^ 2 + v ^ 2
[/matemáticas]

donde [math] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​enteros positivos, y [math] u \ ne v [/ math]. Esta parametrización se verifica fácilmente conectándola a la ecuación de Pitágoras (pero no se verificará aquí).

En nuestro caso, [matemáticas] s = \ frac {1} {2} (a + b + c) = u ^ 2 + uv [/ matemáticas]. Entonces, conectar la parametrización a la ecuación 1 produce

[matemáticas] \ sqrt {(u ^ 2 + uv) (v ^ 2 + uv) (u ^ 2 – uv) (- v ^ 2 + uv)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = u ^ 2 + uv. [/ matemáticas]

Simplificar lo anterior da

[matemáticas] uv \ sqrt {(u + v) ^ 2 (u – v) ^ 2} = u (u + v) [/ matemáticas]
[matemáticas] uv (u + v) | u – v | – u (u + v) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] u (u + v) (v | u – v | – 1) = 0. [/ matemáticas]

Las raíces de este polinomio producen una parametrización para las posibles soluciones al problema. [matemáticas] u [/ matemáticas] no puede ser igual a 0, ya que debe ser positivo. De manera similar, [math] u = -v [/ math] también es una solución extraña. Por lo tanto, las soluciones que vale la pena investigar más son

Ecuación 2
[matemáticas]
u = \ frac {v ^ 2 + 1} {v} = v + \ frac {1} {v}
[/matemáticas]
y
Ecuación 3
[matemáticas]
u = \ frac {v ^ 2 – 1} {v} = v – \ frac {1} {v}.
[/matemáticas]

Como [math] u [/ math] debe ser un número entero, el único valor de [math] v [/ math] que produce un valor correcto en Eq 2 y Eq 3 es el caso cuando [math] v = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] u = 2 [/ matemática] o [matemática] u = 0 [/ matemática]. Pero sabemos que [matemáticas] u [/ matemáticas] no puede ser 0. En consecuencia, [matemáticas] u = 2 [/ matemáticas].

Al conectar [matemática] u = 2 [/ matemática] y [matemática] v = 1 [/ matemática] en la parametrización original para triples pitagóricos primitivos se obtiene la solución primitiva única: el triángulo con longitudes laterales 3, 4 y 5.

Answer 2

Si el triángulo tiene lados [matemática] a

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas] [1]
[matemáticas] ab = a + b + c [/ matemáticas] [2]

Por lo tanto, de [2]

[matemáticas] c = ab-ab [/ matemáticas]

Poniendo esto en [1]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (ab-ab) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2b ^ 2-2a ^ 2b-2ab ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = a ^ 2b ^ 2-2a ^ 2b-2ab ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]
[matemáticas] ab (ab-2a-2b + 2) = 0 [/ matemáticas]

Como [math] a \ ne 0 [/ math] y [math] b \ ne 0 [/ math], tenemos

[matemáticas] ab-2a-2b + 2 = 0 [/ matemáticas]

Pero a partir de [2],

[matemáticas] a + b + c-2a-2b + 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = a + b-2 [/ matemáticas] [3]

El único triple pitagórico que satisface la relación [3] es [matemáticas] (3,4,5) [/ matemáticas]. Por lo tanto, la respuesta es el [matemático] (3,4,5) [/ matemático] triángulo pitagórico.

Answer 3

El requisito se puede reducir a
2. Área = ab = perímetro = a + b + c
para 3,4,5 ab = 12 p = 12 según sea necesario
para 5,12,13 ab = 60 p = 30 = ab / 2
7,24,25 ab = 168 p = 56 = ab / 3
9,40,41 ab = 360 p = 90 = ab / 4
Un patrón interesante para investigar
Tenga en cuenta que con el cambio de escala, cualquier triángulo de cualquier forma podría cumplir los requisitos.
por ejemplo, 5,12,13 a la mitad da
2.5, 6, 6.5 ab = 15 = p pero por supuesto eso no es un triple pitagórico

Answer 4

Es el triángulo rectángulo 3 4 5.