Podemos derivar esta fórmula sin usar trigonometría o cálculo o incluso álgebra complicada.
Ignorando la resistencia del aire y la curvatura de la Tierra, el vuelo de una pelota de baloncesto es una parábola. Imagine que en algún punto de la mitad ascendente de su vuelo, desviamos la pelota de su trayectoria parabólica hacia una rampa recta que es tangente a la parábola. La pelota rodará la rampa a cierta altura [matemáticas] h [/ matemáticas] sobre el suelo, donde se detendrá, y luego comenzará a rodar hacia atrás. Debido a que la suma de las energías cinética y potencial del baloncesto es una constante en todas partes a lo largo de su vuelo, [matemática] h [/ matemática] será la misma sin importar el punto de desvío que elijamos.
Supongamos, entonces, que elegimos desviar la pelota en el punto [matemático] Q [/ matemático] donde viaja hacia arriba exactamente a 45 °, es decir, sus energías cinéticas horizontal y vertical son iguales. Si desviamos la pelota, convierte toda su energía cinética (horizontal y vertical) en energía potencial, lo que le permite alcanzar la altura [matemática] h [/ matemática]. Si no desviamos la pelota, solo convierte su energía cinética vertical en energía potencial, mientras que su energía cinética horizontal permanece sin cambios, de modo que solo puede alcanzar la altura del vértice [matemática] V [/ matemática] de la parábola . Esto implica que la diferencia de altura entre [matemática] h [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] es exactamente el doble de la diferencia de altura entre [matemática] V [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática].
Si la rampa tangente de 45 ° fuera también un espejo, entonces un rayo de luz que viajara directamente hacia [matemáticas] Q [/ matemáticas] se reflejaría en el foco [matemáticas] F [/ matemáticas] de la parábola. Entonces [math] F [/ math] está a la misma altura que [math] Q [/ math]. Por lo tanto, el párrafo anterior ha demostrado que [matemática] V [/ matemática] es equidistante de [matemática] F [/ matemática] y la línea horizontal [matemática] \ ell [/ matemática] a la altura [matemática] h [/ matemática]. Esa pista es suficiente para determinar la identidad de esta línea horizontal [matemáticas] \ ell [/ matemáticas]: es la directriz de la parábola, que satisface [matemáticas] PF = d (P, \ ell) [/ matemáticas] para todos puntos [matemáticas] P [/ matemáticas] en la parábola.
- ¿Qué es una hipérbola rectangular?
- ¿Qué triángulo pitagórico primitivo tiene un área igual a 1/2 de su perímetro?
- En el triángulo ABC, BE y CF son altitudes, BE = 60, CF = 56, BC = 65. ¿Cuál es el área de ABC?
- [math] ABCD [/ math] es un paralelogramo con [math] \ angle {ABC} = 60 ^ {\ circ} [/ math]. Si la diagonal más larga es [matemática] 7 cm [/ matemática] larga y [matemática] área (ABCD) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] (15% 2 * (3 ^ {1/2})) [ matemáticas] cm ^ 2 [/ matemáticas], entonces ¿cuál es el valor del perímetro [matemáticas] (ABCD) [/ matemáticas]?
- ¿Cómo se resolvería esto?
“Eso es genial”, dices, “pero todo lo que quería hacer era aprender a disparar un triple. ¿Qué tiene que ver eso con la física y la geometría? Sí, sí. Casi hemos llegado a eso.
Digamos que está disparando desde el punto [matemáticas] A [/ matemáticas] al aro en el punto [matemáticas] B [/ matemáticas], y desea minimizar la energía cinética requerida. La forma de hacerlo es haciendo que [matemáticas] h [/ matemáticas] sea lo más bajo posible. Eso es lo mismo que minimizar [math] d (A, \ ell) [/ math] y [math] d (B, \ ell) [/ math], que por la propiedad de la directriz, son iguales a [math] AF [/ matemática] y [matemática] BF [/ matemática], respectivamente. ¡Pero eso es fácil! Por la desigualdad del triángulo, sabemos que [matemática] AF + BF [/ matemática] es mínima cuando [matemática] F [/ matemática] se encuentra en el segmento [matemática] AB [/ matemática] .
Siguiendo un rayo de luz que viaja directamente hacia [matemáticas] A [/ matemáticas], se refleja en un espejo tangente a la parábola allí, pasa a través del foco [matemáticas] F [/ matemáticas], y golpea [matemáticas] B [/ matemática], encontramos que dicho espejo debe estar en un ángulo intermedio entre vertical y [matemática] AB [/ matemática] . ¡El ángulo [matemático] \ tfrac12 (90 ^ \ circ + \ alpha) = 45 ^ \ circ + \ tfrac {\ alpha} {2} [/ matemático] de ese espejo tangente es exactamente la dirección en la que debemos disparar!
Entonces, la próxima vez que filmes esa toma perfecta, recuerda la línea imaginaria que se cierne sobre ti que lo hizo posible. Gracias directrix.