¿Cuáles son los valores de ‘a’ para los cuales el punto (a, a {cuadrado}) se encuentra dentro del triángulo formado por las líneas: 2x + 3y = 1, x + 2y = 3 y 5x-6y = 1?

En primer lugar, el punto (a, a ^ 2) no es más que todos los puntos (x, y) que se encuentran en y = x ^ 2 curva.

Ahora, un bosquejo de las tres líneas que forman el triángulo dará una idea suficiente para resolver el problema.

Entonces tenemos ecuaciones de líneas como:
Línea1: 2x + 3y-1 = 0
Línea2: x + 2y-3 = 0
Línea3: 5x-6y-1 = 0

El comportamiento de estas líneas será el mismo para todos los puntos que se encuentran dentro. Un punto simple y obvio dentro es (0,1). Por lo tanto, poner este punto en las ecuaciones anteriores representará la naturaleza de las ecuaciones.
Entonces,

Eq1: 2 * 0 + 3 * 1-1 = 2 es decir> 0
Eq2: 0 + 2 * 1-3 = -1 es decir <0
Eq3: 5 * 0-6 * 1-1 = -7, es decir, <0

Por lo tanto, para todos los puntos que se encuentran dentro del triángulo, debe satisfacer Eq1> 0, Eq2 <0 y Eq3 <0.

Ahora tenemos el punto como x = a y y = a ^ 2. Poniendo este valor en todas las ecuaciones, tenemos:

2a + 3a ^ 2 – 1> 0 a + 2a ^ 2 – 3 <0 5a – 6a ^ 2 – 1 0 = (2a + 3) (a-1 ) 0

= a> 1/3, a <-1 = -3 / 2 <a 1/2, a <1/3

Al trazar estas desigualdades en la recta numérica se obtiene el rango de intersección como:
-3/2 <a <-1 y 1/2 <a <1.