Dos círculos iguales pasan a través de los centros entre sí y se cruzan entre sí en A y B. Una línea pasa por el punto A que intersecta los dos círculos en los puntos C y D. ¿Cómo puedo demostrar que el triángulo formado por los puntos B, C y D es equilátero?

Answer 1

La solución exacta consiste en dibujar círculos y hacer numerosos ángulos y puntos en él. No podré dibujar todos esos en quora. Estoy tratando de decirte los pasos involucrados, estoy seguro de que eso te ayudaría. Si necesita ver el diagrama después de eso, publicaré un dibujo hecho a mano.

Paso 1
Considere el diagrama de preguntas.
Únete a AB.
Considere que los centros de BC y BD son C1 y C2 respectivamente.
Dado que ambos círculos tienen el mismo radio, podemos suponer BC = BD. Esto significa ángulo BCD = ángulo ADB = x.
De manera similar, por simetría podemos suponer un ángulo CAB = ángulo DAB = y,
Y ángulo ABC = ángulo ABD = z.

Paso 2
En el triángulo ABC o ABD,
x + y + z = 180 °
Y en el triángulo BCD,
x + x + 2z = 180 °
=> x + z = 90 ° ———————— (1)
Y que y = 90 °

Sabemos que el ángulo subtendido por un acorde en la circunferencia es de 90 ° solo cuando el acorde tiene un diámetro.
Esto significa que BC y BD son diámetros de sus respectivos círculos. Por lo tanto, C1 = O1 y C2 = O2.

Paso 3
Únete a AO1 y AO2.
Tenga en cuenta que A O1 B O2 es un rombo. Una propiedad del rombo es que sus diagonales son bisectrices perpendiculares entre sí.
Esto significa que O1 O2 es paralelo al CD.

Paso 4
Después del paso 3, debería poder deducir por su cuenta. Intentalo. En caso de que no pueda deducir, siga leyendo.

Considere el acorde AO2 (parte del círculo O1).
El acorde AO2 subtiende 2 ángulos en el círculo O1, ABO2 (que es solo z ) y A O1 O2. Esto significa ángulo A O1 O2 = 2z. ———————— (2)
Desde CD // O1 O2, ángulo CAO1 (que es solo x ) = ángulo A O1 O2 (que es 2z, de 2 ).

Ahora tenemos x = 2z yx + z = 90 ° (de 1 )
Esto dará x = 60 °.

Answer 2

La solución a esta pregunta es en realidad bastante simple, mucho más simple que la otra respuesta dada aquí. Considere el triángulo formado por los puntos A, O1 y O2. Este es un triángulo equilátero (porque cada lado es igual al radio de los círculos) y, por lo tanto, los ángulos dentro de él son de 60 grados. Del mismo modo, el triángulo formado por B, O1 y O2 es equilátero y todos sus ángulos son de 60 grados. De esta manera, puede demostrar que el ángulo AO1B es de 120 grados. Luego, por la propiedad del círculo que los ángulos subtendidos en el centro del círculo son dos veces mayores que el ángulo subtendido en el borde del círculo para el mismo arco, podemos mostrar ese ángulo ACB = 60 grados.

Luego usa una geometría idéntica para mostrar que el ángulo ADB = 60 grados. Todos los ángulos del triángulo BCD deben sumar 180 grados, entonces el ángulo CDB = 60 grados. Por lo tanto, el triángulo BCD tiene tres ángulos de 60 grados que lo hacen equilátero.

Answer 3

Únete a AB

En triángulo ABC y ABD

Ángulo BCA = BDA {POR el mismo acorde AB en el mismo círculo (igual)}

AB = AB común

CB = CD {opp. Lado de ángulos iguales

Así que traingle ABC y ABD congruentes

Entonces, ángulo CAB = DAB

pero ángulo CAB + DAB = 180

2CAB = 180

CAB = 90 y su ángulo en circunferencia

Entonces CB es diámetro de manera similar DB es diámetro

O y O ‘(centros) son puntos medios de CB y DB respectivamente

Únete O, O ‘

Ángulo OBO ‘= 60 {triángulo equilátero OB = BO’ = OO ‘(RADIO)}

AHORA Ángulo CBD + BCD + CDB = 180

60 + 2BCD = 180 {BCD = CDB, comprobado ealier}

2BCD = 180-60

BCD = 120 ÷ 2 = 60

Entonces BDC = BCD = CBD = 60

EQUILIBRADO PROPORCIONADO

Answer 4

¡Para eso debes estar seguro de que el acorde común subtiende un ángulo de 60 ° en la circunferencia que no siempre es cierto! Entonces, todo lo que quiero decir es que la pregunta está incompleta en todos sus aspectos. 🙂