No estoy seguro de entender lo que estás preguntando, pero tengo una idea.
Elija un punto en una esfera de radio [matemática] R [/ matemática] y dibuje todos los puntos equidistantes de ese punto con la distancia medida a lo largo de grandes círculos. Esto nos da el círculo en azul. Un diámetro, medido con grandes círculos en el círculo de la esfera, se dibuja en rojo.
¿Cuál es la razón de la circunferencia [matemática] C [/ matemática] (en azul) al diámetro [matemática] D [/ matemática] (en rojo)? Observe que el círculo azul también es el perímetro de un cono con radio [matemática] R \ sin \ theta [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] C = 2 \ pi R \ sin \ theta [/ matemática]. (Aquí [math] \ pi [/ math] sigue siendo nuestra constante familiar de la geometría euclidiana)
Además, el diámetro es solo un arco en la esfera, [matemáticas] D = 2 \ theta R [/ matemáticas].
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Entonces, [matemáticas] C / D = \ pi \ frac {\ sin \ theta} {\ theta} [/ matemáticas]
Como [math] \ theta [/ math] puede ser cualquier cosa entre [math] 0 [/ math] y [math] \ pi [/ math] concluimos que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro en una esfera es No es una constante. No hay una versión esférica de [math] \ pi [/ math].
Esto significa, como creo que te habrás dado cuenta, que podemos dibujar un círculo para que [matemática] C / D [/ matemática] sea lo que queramos. Simplemente resuelve [matemáticas] (C / D) / \ pi = \ frac {\ sin \ theta} {\ theta} [/ matemáticas] y dale a tu círculo ese ancho angular.
Para obtener [matemática] C / D = 3 [/ matemática] necesitamos [matemática] \ theta \ aproximadamente 0.523599 \ puntos [/ matemática], que encontré conectando la ecuación anterior al solucionador numérico de Mathematica.
También es bueno ver que la función [math] \ frac {\ sin x} {x} [/ math] se acerca a 1 como [math] x \ rightarrow 0 [/ math]. Esto nos dice que los círculos dibujados en una esfera se parecen mucho a las superficies dibujadas en un plano plano siempre que sean lo suficientemente pequeñas.
EDITAR: Una breve nota sobre la relación entre física y matemáticas porque creo que tal vez estás pensando en ello.
Podemos o no vivir en un espacio curvo. Ninguna de nuestras mediciones actuales son lo suficientemente precisas como para determinar decisivamente la curvatura de nuestro universo.
Si vivimos en un espacio curvo, teóricamente podríamos medir la curvatura dibujando círculos enormes en el espacio y midiendo la relación de la circunferencia al diámetro. La desviación de ese número de [math] \ pi [/ math] puede decirnos la curvatura.
¡Sin embargo! [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] independientemente de la forma de nuestro universo. Es una constante matemática que no le importa la forma de nuestro universo. Aparece en muchos lugares de las matemáticas, p. Ej.
[matemáticas] e ^ {- i \ pi} = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} dx = \ sqrt {\ pi} [/ math]
Todas estas afirmaciones son verdaderas solo con [math] \ pi = 3.1415926 \ dots [/ math], la constante de la geometría euclidiana. Si descubrimos que nuestro universo no está modelado por la geometría euclidiana, no cambiaría nada acerca de las matemáticas.