Se inscribe un rectángulo con su base en el eje xy sus esquinas superiores en una parábola. ¿Cómo se pueden encontrar las dimensiones del mayor rectángulo posible dada una parábola cuadrática?

Answer 1

Primero observamos que el término x ^ 2 debe tener un coeficiente negativo, de lo contrario podemos hacer un rectángulo con un valor x positivo muy grande, dando a los rectángulos quién crece sin límite a medida que x aumenta. También tenga en cuenta que debe haber dos soluciones, ya que debe haber algunos valores x positivos y algunos negativos. Esto significa que podemos escribir la cuadrática como -r (x – p) (x – q) con r> 0.

Vamos a resolver el problema para y = -x ^ 2 + 16 = – (x-4) (x + 4). Esto es simétrico respecto al eje y, el área del rectángulo es A = 2 xy = -2 x ^ 3 + 32 x. La técnica estándar para encontrar máximos y mínimos es encontrar cuándo la derivada es cero. Ahora dA / dx = -6 x ^ 2 + 32, que es cero cuando 6 x ^ 2 = 32, es decir, x ^ 2 = 16/3, o x = 4 / sqrt (3).

Para la ecuación general y = -ax ^ 2 + bx + c con a <0. Completa el cuadrado y = a (x ^ 2 + b / ax + c / a) = a ((x + b / (2a)) ^ 2 – (b / (2a)) ^ 2 + c / a). Realice la sustitución z = x + b / (2a). Esto da la cuadrática y = a (z ^ 2 – (b / (2a)) ^ 2 + c / a) = az ^ 2 – b ^ 2 / (4 a) + c. Tenga en cuenta que no hay un término lineal en z, por lo que es simétrico. Ahora podemos seguir el mismo procedimiento que en el párrafo anterior. El área A = 2 yz = 2 az ^ 3 +2 (c- b ^ 2 / (4a)) z. La derivada es dA / dz = 6 az ^ 2 + 2 (c- b ^ 2 / (4a)). Esto es cero cuando -6 az ^ 2 = 2 (c – b ^ 2 / (4a)). Multiplicar por 2 * a da -12 a ^ 2 z ^ 2 = 4 ac – b ^ 2. Puede reconocer la rhs que es – el descriminante d = b ^ 2-4 ac. Ahora tenemos 12 a ^ 2 z ^ 2 = d. Entonces z ^ 2 = d / (12 a ^ 2) y z = sqrt (d) / (2 a sqrt (3)).

Answer 2

deje que los puntos de contacto del rectángulo con la parábola sean (x, y) y (-x, y)
deja que el área del rectángulo sea A
Sabemos que el rectángulo se representa como A = 2xy
= 2x (16-x ^ 2) = 32x – 2x ^ 3
para un máximo de A, encuentre la derivada de A y equípela a cero.
dA / dx = 32 -6x ^ 2
= 0
6x ^ 2 = 32
x ^ 2 = 32/6
puedes encontrar x y usar el valor de x para encontrar y.