Espero que tengas una lectura larga porque este tema es muy cercano y querido para mí. Entonces, aquí va.
¿Cómo se demuestra que la geometría conmutativa es realmente conmutativa? Primero debe comprender cómo sus coordenadas geométricas forman la ortogonalidad.
En el diagrama anterior, los ángulos ayb se encuentran ortogonalmente (en ángulo recto) con el ángulo complementario siendo c. El término ortogonal significa encontrarse en un ángulo recto. Entonces, si podemos establecer la ortogonalidad entre los ángulos a, byc, ahora tenemos un conjunto geométrico de coordenadas que podemos probar para formar una forma definida por las propiedades de los tres ángulos que la forman. Ergo, coordenadas trilineales. Esta construcción geométrica muestra la intersección de 3 coordenadas que tienen dirección y magnitud en un plano de coordenadas dado. Las cantidades escalares solo tienen magnitud.
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Las coordenadas ab y c en el diagrama anterior tienen magnitud y dirección cuando se construyen de esta manera y, por lo tanto, adoptan el título de cantidades vectoriales. En lugar de ver el problema simplemente como ángulos, vamos a ver que cada ángulo está formado por una dirección y magnitud asignada a él en un cálculo tal que;
- Los ángulos a, byc son cantidades vectoriales donde b se extiende a lo largo del eje xy;
- a se extiende a lo largo del eje y de tal manera que ayb se encuentran ortogonalmente a cero en el plano de cálculo y;
- así satisface las condiciones de a al cuadrado + b al cuadrado = c al cuadrado;
- creando el ángulo complementario c
Al definir cero en el plano de cálculo como el origen de estas 3 coordenadas, la ortogonalidad significa que el momento y la magnitud de los ángulos ayb deben moverse en relatividad entre sí para crear el ángulo complementario c que satisfaga los requisitos del teorema de Pitágoras. . Ahora que hemos llegado a este punto en el espacio vectorial bidimensional, ¿cómo hacemos para extender estos mismos principios para incluir vectores tridimensionales?
Gran pregunta! Me alegro de que lo hayas preguntado! O más bien, me alegra que quisieras preguntarlo.
Aquí hay un triángulo esférico. Un poco temprano para eso … Probemos con uno diferente.
¡Aquí hay un triángulo esférico diferente! Este triángulo tiene 4 lados, 12 ángulos en total. Para que los 12 ángulos de este triángulo esférico sean conmutativos, tenemos que probar la ortogonalidad una vez más. Solo muchas más veces. Desde nuestro triángulo original, ayb fueron la base de nuestro ángulo recto con c formando como el ángulo complementario, la hipotenusa.
Para los propósitos y propósitos de esta prueba, voy a construir un modelo jerárquico de ortocentrismo que culmine en la construcción de formas tridimensionales a partir de vectores ortogonales. Emocionante, ¿eh?
- Una vez más, comenzando desde cero, un cuadrado + b cuadrado = c cuadrado forma una hipotenusa con ayb son los otros dos ángulos. De esta manera, obtenemos una hipotenusa que forma un triángulo rectángulo.
- Si decimos que 3 triángulos rectángulos forman un cuarto triángulo rectángulo, la definición de un triángulo esférico, tendremos que decir que un cuadrado + b cuadrado = c cuadrado todos se encuentran ortogonalmente para producir un cuarto triángulo como base.
- Entonces, un cuadrado + b cuadrado = c cuadrado crea una hipotenusa. Si esta operación se realiza 3 veces, obtenemos 4 ángulos a, 4 ángulos b y 4 ángulos c.
Definimos las reglas anteriormente para decir que estos ángulos solo se pueden crear donde a y b se encuentran ortogonalmente para crear la hipotenusa c, a fin de satisfacer las condiciones del teorema de Pitágoras.
- Ahora, vamos a extender eso para decir que estos 3 ángulos deben satisfacer las condiciones de 3a al cuadrado + 3b al cuadrado = 3c al cuadrado para recibir las coordenadas del vector del cuarto triángulo con los ángulos a, by c.
- Esta extensión significa que para justificar la prueba y la definición de un círculo, necesitamos un ángulo complementario ortocéntrico de c.
¿Por qué? Porque aún no hemos terminado aquí.
Hermann Minkowski demostró que todas las sombras de sólidos de curvas de ancho constante (cuando los rayos que se proyectan son paralelos y la sombra cae en un plano perpendicular a los rayos) son curvas del mismo ancho constante.
- Todas esas sombras tienen perímetros iguales ( π veces el ancho ).
Un triángulo Reauleaux también resulta ser un triángulo 3D.
De hecho, hubo un tipo llamado Thomas Hariot que, en 1603, desarrolló una fórmula para encontrar el área de un triángulo esférico ∆ dibujado con grandes arcos circulares en una esfera de radio R. Para recuperar la fórmula de Lambert, tenemos que poner
- C = – 1 / R al cuadrado
Pero para dar el valor positivo de C, como sería necesario para la geometría hiperbólica, necesitamos que el radio de la esfera sea la raíz cuadrada de un número negativo.
- Esto significa que (-C) a una potencia de -1/2 representa el valor real C a una potencia de -1/2
- De cualquier manera, esta es la fórmula de Hariot para el área de un triángulo esférico en una esfera de radio R, con ángulos ∝, β, γ es ∆ = R al cuadrado (∝ + β + γ-π)
- y la fórmula de Lambert para un triángulo hiperbólico tiene C = -1 / R al cuadrado.
Esta es la geometría de Beltrami. La geometría de Beltrami se proyecta estereográficamente desde el polo sur hasta la representación conforme en el disco ecuatorial. Poincare ‘era mejor conocido por su uso del modelo de Beltrami que Beltrami por descubrirlo.
Esta es una esfera de polarización de Poincare.
- Y esta es una esfera de Riemann. Para construir una esfera de Riemann a partir de triángulos 3D, necesitamos algún tipo de ortocentrismo para definir que cada uno de nuestros triángulos esféricos sea el mismo, así como
- Cada triángulo se encuentra ortogonalmente en el centro de la esfera para formar la esfera.
- Entonces, 3a al cuadrado + 3b al cuadrado = 3c al cuadrado puede formar cualquier triángulo realmente. Necesitamos un conjunto de reglas que establezca que cada triángulo se forma ortogonalmente entre sí, de tal forma que se satisfaga el teorema de Pitágoras y que todos formen una esfera.
- Necesitamos un ortocentro para cada triángulo, un ortocentro para cada triángulo 3D y necesitamos que todos estos ortocentros se encuentren ortogonalmente de modo que el teorema de Pitágoras se satisfaga y todos los ángulos se encuentren ortocéntricamente en el centro de una esfera.
Desalentador? Solo un poco.
Para formar una esfera a partir de triángulos esféricos, necesitamos 8 triángulos esféricos que se vean así.
- 3a al cuadrado más 3b al cuadrado = 3c al cuadrado satisface la ecuación anterior donde,
- z y x forman la base ortocéntrica de nuestras coordenadas vectoriales y,
- son 1/8 del número total requerido para crear nuestra esfera.
Entonces z al cuadrado más x al cuadrado es igual a y al cuadrado realizado 3 veces nos da
- 3z al cuadrado más 3x al cuadrado = 3y al cuadrado nos dan las coordenadas del vector para nuestro cuarto triángulo.
- Estos 4 triángulos se encuentran ortogonalmente en su origen, 0
Ahora tenemos un hemisferio norte construido a partir de 4 triángulos esféricos con un ortocentro que define las 4 intersecciones x, y y z de las coordenadas del vector que comprenden el hemisferio. PERO, si realizamos la operación inversa …
- (-3z al cuadrado) + (-3x al cuadrado) = (-3 y al cuadrado)
También tenemos un hemisferio sur.
El teorema de Girard establece que el área de superficie de cualquier triángulo esférico es
- A = R al cuadrado por E
- Donde R es el radio de la esfera y E es el ángulo en exceso de (α + β + γ − π)
- La suma de los ángulos de un triángulo esférico está entre π y 3 π radianes (180 grados y 540 grados. La cantidad por la cual excede 180 grados se llama exceso esférico y se denota E o ∆.
Análogo a un grado que es igual a π 180 radianes, un grado cuadrado es igual a (π 180 ) al cuadrado, o aproximadamente 13283 = 3.0462 × 10 – 4 esteradianos (0.30462 msr).
- El número de grados cuadrados en una esfera completa es de aproximadamente 41253 grados cuadrados.
- Dividimos 41253 grados al cuadrado por 2 y obtenemos 20626.5 grados al cuadrado.
- Dividir 20626.5 grados al cuadrado por 4 produce 5156.625 grados al cuadrado
- Entonces podemos decir que si 4 triángulos esféricos forman cada hemisferio de nuestro espejo esférico, cada triángulo sumará 5156.625 grados al cuadrado.
Cada hemisferio debe sumar 20626.5 grados al cuadrado
Aquí es donde las cosas comienzan a divertirse.
- Hay 5156.625 grados cuadrados por triángulo esférico en cada hemisferio
- Hay 41253 grados cuadrados en una esfera
- Hay 12 ángulos por triángulo esférico, 96 en total
- 96 x 429.71875 = 41253
Lo que vamos a hacer es simplemente volcar el exceso de grados cuadrados en la hipotenusa de cada triángulo.
Entonces, permitiendo 45 grados para a, 45 grados para b y 90 grados para c, obtenemos un exceso de 249.71875 grados cuadrados por triángulo.
- Para 8 triángulos, esto resulta en un exceso de 1997.75 grados cuadrados por esfera.
Entonces, utilizando esta regla recién creada, todos los ángulos deben crecer juntos de manera que el exceso esférico proyectado sobre la hipotenusa de cada triángulo crezca simultáneamente con un exceso de línea base de 249.71875 grados cuadrados por triángulo esférico.
Esto mantiene nuestra esfera uniformemente esférica y es inalcanzable sin un sistema de coordenadas ortocéntricas que proyecte estereográficamente ángulos euclidianos en un plano hiperbólico como lo hay;
- 96 ángulos
- 12 por triángulo esférico
- 3 por triángulo
- 4 triángulos que forman un triángulo esférico
- 4 triángulos esféricos que forman un hemisferio
- 2 hemisferios por esfera
- 8 triángulos esféricos por esfera
Todos deben encontrarse de manera ortogonal y ortocéntrica de tal manera que obtengamos una esfera. De lo contrario, terminamos con ángulos ortogonales aleatorios. En este modelo, obtenemos geometría conmutativa dependiente de todos los demás ángulos para crear la esfera y como tal; todos sus vectores tienen magnitud y dirección definidas para crear una estructura jerárquica con los 96 ángulos dependientes de todos los demás.
Solo mi perspectiva. Nunca pude jugar con esteradianos, pero incluso por breve que sea, debería ser suficiente para que tu cabeza gire por un tiempo.
Editar: Olvidé que quería hacer un punto antes. Hermann Minkowski demostró que todas las sombras de sólidos de curvas de ancho constante (cuando los rayos que se proyectan son paralelos y la sombra cae en un plano perpendicular a los rayos) son curvas del mismo ancho constante.
- Todas esas sombras tienen perímetros iguales ( π veces el ancho ).
Dado que los 8 triángulos esféricos son curvas de ancho constante, esto significa que su proyección estereográfica en el espacio tridimensional es la culminación de sus 96 ángulos proyectados tridimensionalmente y como tales; forman la base para probar que el espacio es bidimensional y la tercera dimensión es una proyección holomórfica que debe tener perímetros iguales ( π veces el ancho ) 😀 Espero que hayas disfrutado escuchando un montón de razonamiento circular.