¿Por qué los matemáticos quieren una fórmula que pueda encontrar números primos? ¿Qué problema del mundo real ayudaría eso a resolver?

Una ligera corrección: no quieren una fórmula que pueda encontrar números primos. Ya hay fórmulas que pueden generar muchos primos grandes.

Tampoco quieren una función que pueda decir si un número es primo . Ya hay buenas soluciones para eso.

Lo que realmente quieren es una función que puede tomar un número no primo y encontrar rápidamente los factores primos.

¿Por qué quieren esto? Porque resulta que si puede generar fácilmente dos primos grandes (digamos 200 dígitos más o menos), llamémoslos P1 y P2. Luego puede multiplicarlos para obtener un número compuesto C, que luego puede usar para el cifrado.

Aquí está la parte interesante: hacer el descifrado es fácil, siempre que conozca P1 o P2. Pero sin P1 o P2, es imposible.

Y si solo tuviéramos una fórmula para encontrar factores, podríamos encontrar P1, pero hoy el único método que tenemos para encontrar P1 es tratar de dividir C entre todos los números primos hasta la raíz cuadrada de C. Esto tomará más tiempo que la vida esperada del universo, por lo que no es muy práctico 🙂

Encontrar números primos probablemente no resuelve ningún problema del mundo real. Como Scott Welch y otros han señalado, ser capaz de factorizar grandes números sería un gran problema para los métodos actuales de criptografía.

Lo que sería realmente genial sería una fórmula o método para generar todos los números primos. Pero no sería genial por razones prácticas. Sería genial por la misma razón que el arte y la música son geniales. Sería hermoso e interesante y realmente ordenado.

Richard Feynman hizo una gran declaración sobre la física que también se aplica a las matemáticas:

La física es como el sexo; claro, puede dar algunos resultados prácticos, pero no es por eso que lo hacemos

Si se encontrara una fórmula que generara todos los números primos, con un estudio adicional podría arrojar soluciones a muchos problemas abiertos en la teoría de números.

Hasta cierto punto, la fórmula ya existe, y se llama el Tamiz de Eratóstenes. El problema es que no es muy útil para resolver el tipo de problemas en los que los matemáticos están interesados. Por lo tanto, los matemáticos han diseñado otros tamices ‘más sueltos’ que capturan números que son casi primos, y en su lugar trabajan con esos conjuntos.

Sin embargo, es poco probable que alguien esté buscando seriamente una fórmula del tipo que está describiendo, ya que probablemente no exista. Toda la evidencia disponible apunta a que los números primos se distribuyen aleatoriamente, con la tendencia a largo plazo dada por el Teorema del número primo.

Su premisa parece fuera de lugar.

Los polinomios de primera generación han sido bien estudiados.

Legendre demostró que no existe una función algebraica racional que siempre dé primos. En 1752, Goldbach demostró que ningún polinomio con coeficientes enteros puede dar un primo para todos los valores enteros. Sin embargo, existe un polinomio en 10 variables con coeficientes enteros, de modo que el conjunto de primos es igual al conjunto de valores positivos de este polinomio obtenido a medida que las variables atraviesan todos los enteros no negativos, aunque en realidad es un conjunto de ecuaciones de diofantina disfrazadas. Jones, Sato, Wada y Wiens también han encontrado un polinomio de grado 25 en 26 variables cuyos valores positivos son exactamente los números primos

Con respecto a la motivación para este esfuerzo, es una búsqueda del conocimiento puro, a veces incidentalmente teniendo aplicación práctica.

Citando a GH Hardy: “La matemática pura es, en general, claramente más útil que la aplicada. Lo que es útil sobre todo es la técnica, y la técnica matemática se enseña principalmente a través de la matemática pura”.

Desde las comunicaciones corporativas hasta la televisión por cable, muchos sistemas necesitan cifrado. Los sistemas de encriptación que utilizan números primos tienen una serie de características convenientes, entre las que se incluye el uso de una función de “trampilla” (qv) o una clave pública / privada y no hay límite para la longitud de la clave.
Mi punto es que los matemáticos no quieren una fórmula que encuentre números primos, sino que prueben continuamente que no la hay.

La distribución de números primos parece algo aleatoria. Sin embargo, hay algunos resultados interesantes, como la espiral de Ulam.

Para el matemático esto simplemente significa que hay algo que aún no sabemos. Al igual que las estrellas en la galaxia, en cierto modo se ven al azar, pero cuando lo descubres, forman la galaxia espiral.

Por lo tanto, tratar de descubrir una fórmula de números primos es una de las actividades que los matemáticos intentan romper con el código de la naturaleza.

Criptografía, criptografía de clave pública en particular. Entre otras cosas, la criptografía se utiliza para transmitir dinero entre bancos.

Encontrar números primos de una manera viable puede compararse con resolver el problema P = NP, que tiene bastantes aplicaciones prácticas …

¡Vea cómo con tal material en la mano, puede tomar el mundo! Si acabo de demostrar que P = NP, ¿cómo empiezo a conquistar el mundo?

Lo primero que viene a la mente es la criptografía. Los cifrados generalmente se basan en números primos (grandes). Encuentre una fórmula para darle primos y simplemente descifró cada encriptación que hay. ¿Bancos? Todo tuyo. ¿Tarjetas de crédito? Todo tuyo.
Entonces, ¿son malvados los matemáticos? En absoluto, no les importa robar dinero y romper cifrados. Nunca lo hicieron. Se preocupan por el conocimiento. Los números primos parecen misteriosos, por lo que quieren saber cómo ocurren