Como otros han respondido, los axiomas son suposiciones que no tienen que ser “verdaderas” en el “mundo real”. Si los axiomas conducen a conclusiones interesantes (teoremas), entonces son axiomas útiles.
Los axiomas utilizados juntos deben ser independientes. Si uno puede probar o refutar un axioma con otro axioma, entonces esos axiomas no son independientes.
Un famoso ejemplo de un axioma que a menudo se cuestionó es el quinto postulado de Euclides (similar a un axioma). Muchos matemáticos a través de los siglos buscaron pruebas de que el postulado paralelo de Euclides era redundante con sus otros cuatro. Algunos matemáticos (Lobachevsky, Gauss, …) se dieron cuenta de que negar el quinto postulado de Euclides condujo a nuevos descubrimientos muy interesantes (geometría nouclidiana). Un siglo después de eso, sus descubrimientos ayudaron a Einstein a ver el universo de nuevas maneras. Sin embargo, la geometría euclidiana sigue siendo coherente y útil para la ciencia, la ingeniería y la vida cotidiana.
Pienso en axiomas como los universos que crean los escritores de ciencia ficción. Me gusta la ciencia ficción que es autoconsistente porque proporciona una plataforma para personajes e historias que son relacionables e interesantes. El universo de ciencia ficción no tiene que ser el mismo que mi universo real o cualquier otro universo de ciencia ficción. La clave es la autoconsistencia.
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