Turing fue un matemático absolutamente brillante. Es un error mirar solo por lo que es famoso entre los no matemáticos. “Inventado el concepto de computadora” no comunica el genio matemático y la profundidad de “Sobre números computables”. Su especulación sobre “Can Machines Think” no es una obra de matemáticas. Pero, como lo muestro a continuación, Turing realizó contribuciones importantes, a menudo innovadoras, a un sorprendente número de áreas de las matemáticas. Espero que esto ayude a las personas a comprender por qué los matemáticos tienen a Turing en tan alta estima.
Sobre la función de error gaussiano (1935)
Cuando Turing era un estudiante universitario, redescubrió un teorema extremadamente importante en estadística, el Teorema del límite central. (No sabía que ya se había probado cuando comenzó a trabajar). Además, avanzó en un teorema estrechamente relacionado que no se conocía en ese momento. Todo esto fue parte de un importante proyecto de pregrado.
Su brillantez como estudiante universitario en Kings fue muy reconocida por sus maestros, y eso se refleja en su nombramiento al departamento.
También debo señalar que la gente olvida que Turing hizo un trabajo tan importante en probabilidad y estadística, y sospecho firmemente que es por eso que fue capaz de desarrollar su método de Banburismus que jugó un papel tan importante en descifrar el tráfico de Enigma. Y este es un lugar tan bueno como cualquier otro para agregar que el enfoque estadístico de Turing era muy bayesiano, como lo señaló Robert J. Kolker en los comentarios.
- Dado que ayb son números reales, ¿cómo se puede mostrar que [matemáticas] (a ^ 2 + 1) (b ^ 2 + 1) \ geq a (b ^ 2 + 1) + b (a ^ 2 + 1) [/matemáticas]?
- ¿Quién fue el famoso matemático profesional que robó la primera solución de ecuaciones cúbicas?
- ¿Cuál es el método más fácil para encontrar una combinación lineal?
- ¿Cuáles son algunas historias reales sorprendentes sobre matemáticos famosos y la historia de las matemáticas?
- ¿Tiene que ser matemático para participar en un proyecto de análisis predictivo?
En números computables, con una aplicación al problema Entscheidungs (1936)
Este, por supuesto, es el papel que lo convirtió (correctamente) en una estrella. Los no matemáticos lo sabrán como el papel que es fundamental para todo lo que hacemos con las computadoras. Y eso es verdad. Pero lo que mucha gente no reconoce es que la formalización de Turing de lo que podría hacer una máquina de computación automática no era el punto del documento.
Utilizó lo que pudo probar sobre tales “máquinas” para responder a un problema mucho más grande: en un sistema apropiadamente axiomatizado, ¿hay un procedimiento definido que pueda usarse para determinar qué afirmaciones dentro de ese sistema son comprobables? El hecho de que la respuesta fue “No”, junto con el famoso teorema de Gödel, ha cambiado la forma en que los matemáticos ven las matemáticas. Esto es verdaderamente fundamental.
Ahora, Alonzo Church había superado a Turing por el golpe en esa respuesta, pero el documento de Turing aportó una nueva comprensión del problema real y de tantas otras cosas innovadoras en el camino, que se erige como uno de los documentos matemáticos más importantes de la historia. siglo 20.
Si puedo citarme de la contribución de Alan Turing no se puede calcular:
Me gusta llamar al segundo milenio “el milenio del algoritmo”. Un algoritmo es una lista finita de instrucciones paso a paso que, si se siguen, le darán un resultado. […] Estos algoritmos para la aritmética fueron desarrollados y descritos por Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī en aproximadamente 825 CE y traducidos al latín en el siglo XII. Es del nombre de al-Khwārizmī que obtenemos la palabra “algoritmo”. […] En el siglo final del milenio, Alan Turing encontró una manera de tratar los algoritmos como objetos matemáticos.
Ahora sabemos cómo hablar sobre qué algoritmos pueden y no pueden hacer todo porque Turing inventó una matemática de algoritmos en su camino para responder una de las preguntas matemáticas más importantes del día.
Un recurso absolutamente excepcional que ayudará a las personas a comprender este documento, su contexto, sus detalles y su impacto es The Annotated Turing de Charles Petzold. 
Computabilidad y cálculo λ (1937–1938)
Como mencioné anteriormente, Alonzo Church demostró el mismo resultado final que Turing en “Sobre números computables”. Church desarrolló un tipo de lógica, llamada cálculo λ, que expresaba el cálculo en una especie de forma lógica en lugar del uso de Turing de algoritmos paso a paso. Turing escribió una serie de documentos que exploraban cómo estos sistemas tan diferentes eran “equivalentes” y al mismo tiempo eran muy diferentes en qué tipo de cosas se podían hacer fácilmente con ellos.
A cualquiera que estudie informática hoy se le presentarán ‘lenguajes funcionales’ (como LISP, Prolog, Haskell) y ‘lenguajes de procedimiento’ (cosas como C, Algol, etc.). Cualesquiera que sean las ventajas de los lenguajes funcionales, el hardware real en el centro de las computadoras se ejecuta de manera procesal. Algunos trabajos que Turing realizó no solo nos ayudan a comprender mejor qué son estos tipos de sistemas, sino también cómo ‘traducir’ de un lado a otro entre ellos.
Rompe código (1938–1945)
Debido a que las personas involucradas no publicaron nada como matemática y debido a que esto fue en gran medida un esfuerzo de equipo, puede ser difícil clasificar de dónde provienen las matemáticas. La primera idea matemática crucial para romper el Enigma fue desarrollada por matemáticos polacos, que transmitieron todo lo que sabían a la inteligencia británica a través de Francia al estallar la guerra.
Pero todavía había muchas matemáticas que hacer en Bletchley. Por sí solos, los descubrimientos polacos no serían utilizables para interrumpir el tráfico en cualquier lugar lo suficientemente rápido como para ser útil. De las muchas cosas que se desarrollaron para romper Enigma fue un método que solo Turing podría haber ideado. Se requirió información sobre estadísticas, computación, procedimientos efectivos y sobre lo que se convertiría en teoría de la información una década después: el banburismo. Este era un algoritmo para calcular si tenían suficiente información (aún) para configurar máquinas (bombas) trabajando en la búsqueda de la configuración diaria.
Las dos únicas sábanas de Banbury que han sobrevivido. Habían sido apiñados en una pared para aislarlos. Notas de descifrado de códigos, hojas de Banbury encontradas en la cabaña Bletchley . Fuente: BLETCHLEY PARK – Primer vistazo a las Banbury Sheets de Alan Turing utilizadas para descifrar el código nazi Enigma
También había otras cosas. Turing literalmente escribió el libro sobre Enigma que se usó internamente. (Afortunadamente, una copia del “libro del profesor” sobrevivió en los EE. UU. Y fue desclasificada a fines de la década de 1990. Fui una de las primeras personas no autorizadas en verla.) Consulte el informe de Turing de Andrew Hodges sobre el Enigma, 1940 para obtener información sobre este documento. y enlaces a donde puede obtener todo lo enorme (mapa de bits).
Turing y Gordon Welchman fueron los principales responsables del diseño de las Bombas que pudieron hacer uso eficiente de los “grupos” que se descubrieron manualmente. Estas no eran máquinas que buscaban todas las combinaciones posibles. En su lugar, buscaron a través de un espacio muy reducido y pudieron eliminar conjuntos completos de posibles soluciones en un solo ‘tic’.
Aunque Turing no trabajó directamente en el cifrado de Lorenz (“Fish”) y, por lo tanto, no participó en el diseño, construcción y operación de computadoras electrónicas digitales (Colossus) que excedieron con creces las características y capacidades de ENIAC, sí proporcionó Una idea absolutamente crítica en el hecho de que la información sobre las ruedas de chi podría obtenerse correlacionando pares adyacentes de “letras” en el texto cifrado.
Por supuesto, solo los matemáticos que trabajaron con Turing en esto sabían de este trabajo. Si lees lo que dicen sobre él ahora, está claro que fue muy respetado por sus compañeros descifradores de códigos.
Errores de redondeo en procesos matriciales (1948)
En los comentarios, Justin Rising me llamó la atención sobre las tremendas contribuciones de Turing al análisis numérico, algo de lo que no sé nada. Cuando realiza cálculos en números redondeados (por ejemplo, algo así como 3.14159), sus errores de redondeo necesarios pueden acumularse en muchos cálculos. Al realizar cálculos con matrices, tendrá muchos cálculos, y es posible que los errores de redondeo se alimenten entre sí de tal manera que haya mucho más error que significado en el resultado final.
Si entiendo esto correctamente, Turing desarrolló un algoritmo para mantenerlos bajo control al realizar operaciones matriciales, pero también una forma de hablar sobre qué tan bien controlado está la acumulación de errores de redondeo. No es un tema que conozca, pero para citar a Justin Rising en su comentario, este fue “posiblemente el método numérico más importante del siglo XX”.
Bueno y bayesiano
En ediciones anteriores de esto, insinuaba las inclinaciones bayesianas de Turing, pero no lo abordaba explícitamente. El razonamiento bayesiano desempeñó un papel fundamental en su actividad de descifrado de códigos, de la cual no se publicó nada. Pero en los comentarios, Abhishek Chanda me señaló que el colega de Turing en Bletchley y después, IJ Good, publicaron un artículo (1953) sobre lo que ahora se llama estimación de frecuencia de Good-Turing aplicada a estimaciones de población basadas en observaciones límite.
La información de actualización matemática es la noción central del razonamiento bayesiano, y esto también es clave para la teoría de la información. En una edición anterior de esto, había sugerido erróneamente que Turing había sido influenciado por los desarrollos en la teoría de la información, pero gracias a los comentarios de Quora User a continuación, me di cuenta de que me faltaba una década. (Pensé que el artículo de Shannon era 1938, no 1948). Entonces la influencia fue al revés.
A través de gran parte del trabajo de Turing, demostró la perspicacia y el poder de adoptar un enfoque bayesiano para la inferencia estadística. La disputa frequentista versus bayesiana es la mayor controversia en las estadísticas del siglo XX. Turing, de nuevo, se adelantó a su tiempo y, como muchos han dicho, un “pensador ferozmente independiente”.
En los comentarios, Quora User señaló que recientemente se desclasificó un par de guías que Turing escribió sobre “Las aplicaciones de la probabilidad de la criptografía”. Solo he echado un vistazo rápido a este punto, pero me parece muy bayesiano. Y la versión editada y TeX’ed está aquí: http://arxiv.org/pdf/1505.04714v…
No es solo en el análisis bayesiano que Turing desarrolló herramientas y análisis que iban en contra de la posición de RA Fisher, sino también en mirar más allá de la genética. Nos lleva a la siguiente sección:
Redes neuronales
En los comentarios, Mónica Anderson señaló que Turing estaba décadas adelantado a su tiempo al desarrollar la teoría de lo que ahora llamamos “redes neuronales” o “conexionismo” en un informe de 1948 “Maquinaria inteligente”. Había dejado este documento en mis ediciones anteriores de esto porque pensé erróneamente que no introducía ninguna matemática nueva significativa (y estoy tratando de centrarme en la pregunta sobre las matemáticas), pero ahora que he tenido la conexión de conexión me señaló, incluyo esto como algo que con frecuencia se pasa por alto que Turing fue pionero.
Patrones morfogenéticos (1952–1953)
Turing realizó un importante trabajo matemático en biología, específicamente en embriología. No conozco la historia de estos campos lo suficientemente bien como para decir si estaba tan adelantado a su tiempo que su enfoque fue redescubierto más tarde, o si gran parte de lo que se hace hoy desciende directamente de su trabajo. No he leído estos documentos, así que tome mi caracterización de ellos con un gran grano de sal.
Si observa el patrón particular de rayas en una cebra particular, son como huellas digitales. Son únicos para la cebra particular (más o menos). ¿El patrón particular está codificado en genes? Turing pensó que no. Turing demostró que los tipos de patrones que vemos en realidad podrían crearse por simple química si se consideraba lo que estaba sucediendo en el vecindario de cada reacción al observar cualquier reacción particular.
Una vez más, no conozco la historia de estas ideas, pero este es el tipo de material desarrollado por el economista Thomas Schelling en la década de 1970 y presentado al público en un libro Micromotives and Macrobehavior . Era una forma de ver cómo muchas interacciones simples entre elementos simples podrían conducir a patrones notablemente complejos en el sistema en su conjunto. Un par de décadas más tarde, esto llamó la atención del público bajo la palabra de moda “emergencia”. Pero Turing fue quien mostró cómo, utilizando un conjunto de ecuaciones diferenciales simples que modelan interacciones simples, en realidad podríamos obtener los tipos de patrones complejos que vemos en algunos seres vivos.
Para una discusión mejor informada sobre la importancia y el trabajo de Turing sobre la morfogénesis, vea el comentario detallado y fascinante del usuario de Quora en los comentarios a continuación.
En resumen
Este es un sorprendente conjunto de contribuciones hechas por cualquier persona. Al principio pueden parecer diversos, pero central a todo esto es la cuestión del poder y los límites de la información.
