Trabajé en sistemas dinámicos de dimensiones infinitas y provenía de un grupo de investigación con conexiones cercanas con matemáticos que trabajan en sistemas dinámicos. El enfoque que los matemáticos adoptan para los sistemas dinámicos es completamente diferente del enfoque que adoptan los físicos, y la razón es que estos dos grupos diferentes hacen preguntas diferentes sobre los sistemas dinámicos.
Aunque ambos grupos pueden tener intereses puramente abstractos en los sistemas dinámicos, el estándar de evidencia en matemáticas (prueba rigurosa) es mucho más alto que en física. Los físicos también tienen un mayor interés en usar fenómenos de sistemas dinámicos para comprender situaciones particulares en el mundo real.
Un buen ejemplo es el de la existencia de atractores extraños. Se considera un hecho que muchos sistemas poseen atractores extraños, por ejemplo, las ecuaciones de Lorenz, las ecuaciones de Rossler, el mapa de Henon, etc. La exploración de estos sistemas usando una combinación de teoría de bifurcación y simulaciones numéricas proporciona una fuerte evidencia del hecho de que el los sistemas anteriores tienen atractores extraños, y este trabajo generalmente se publica en revistas de física (y posiblemente incluirá la compilación de exponentes de Lyapunov o dimensiones fractales).
Tales resultados, aunque sugestivos, no constituyen prueba. Se considera un trabajo legítimo para un matemático intentar probar que la ecuación de Lorenz tiene un atractor extraño (y este problema aún puede estar abierto). Los matemáticos tienden a demostrar resultados más generales, como estudiar la ergodicidad de las órbitas en un atractor o encontrar condiciones generales que impliquen caos (como la existencia de una herradura Smale).
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La diferencia se puede ver al comparar documentos clásicos de cada campo:
De las matemáticas:
El período 3 implica Caos (un famoso trabajo matemático ‘simple’):
Página en washington.edu
Uno de los documentos importantes sobre la teoría KAM (solo accesible desde una computadora de la universidad):
Expansiones de series convergentes para movimientos cuasi periódicos
En el lado de la física:
Documento de Feigenbaum sobre universalidad / renormalización:
Página en www.cbpf.br
Y un famoso artículo de Lorenz:
Página en astro.puc.cl
Los documentos de física usan cálculos esencialmente formales combinados con métodos numéricos para mostrar evidencia sólida de sus afirmaciones, mientras que los documentos de matemáticas usan métodos mucho más avanzados para probar resultados rigurosos.
A pesar de la gran diferencia en los objetivos entre los dos grupos, las ideas y las técnicas eventualmente cruzan la barrera entre los campos.