Hace un siglo, Srinivasa Ramanujan y GH Hardy comenzaron una famosa correspondencia sobre matemáticas tan sorprendente que Hardy la describió como “apenas posible de creer”. El 1 de mayo de 1913, Ramanujan recibió un puesto permanente en la Universidad de Cambridge. Cinco años y un día después, se convirtió en miembro de la Royal Society, entonces el grupo científico más prestigioso del mundo en ese momento. En 1919, Ramanujan estaba gravemente enfermo mientras viajaba de regreso a la India, del 27 de febrero al 13 de marzo en el barco de vapor Nagoya. Todo lo que tenía era un bolígrafo y un bloc de papel (no Mathematica en ese momento), y quería escribir sus ecuaciones antes de morir. Afirmó tener soluciones para una función en particular, pero solo tuvo tiempo de escribir algunas antes de pasar a otras áreas de las matemáticas. Escribió la siguiente ecuación incompleta con otros 14, solo 3 de ellos resueltos. 
En unos meses, falleció, probablemente por amebiasis hepática. La Universidad de Madras envió su último cuaderno a GH Hardy, quien a su vez se lo entregó al matemático GN Watson. Cuando Watson murió en 1965, el canciller de la universidad encontró el cuaderno en su oficina mientras revisaba los documentos programados para ser incinerados. redescubrió el cuaderno en 1976, y finalmente se publicó en 1987. Bruce Berndt y Andrews escribieron sobre el Cuaderno perdido de Ramanujan en una serie de libros (Parte 1, Parte 2 y Parte 3). Berndt dijo: “El descubrimiento de este ‘Cuaderno perdido’ causó tanto revuelo en el mundo matemático como el descubrimiento de la décima sinfonía de Beethoven en el mundo musical”.
En su libro que analiza los resultados de Ramanujan, Berndt señala la existencia de una solución para 
, pero sigue con: “No registramos el valor aquí, porque no es particularmente elegante”. Como mostraremos a continuación, existe una solución tan elegante como otros valores encontrados por el propio Ramanujan. 
¿Qué significa la ecuación? Comenzamos comparando secuencias aritméticas con secuencias geométricas.
Aritmética: 1 + 2 + 3 +… + n .
Geométrico: a 1 + a 2 + a 3 +… + an .
Para cada tipo, podemos predecir comportamientos con cosas como fórmulas de suma parcial. Otra forma de progresión aritmética, en el ámbito de las fracciones continuas, es la siguiente: 
donde símbolo 
corresponde a la función Mathematica ContinuedFractionK.
La versión geométrica de las fracciones continuas se conoce como la función R de Rogers-Ramanujan. Hay una función relacionada Rogers – Ramanujan S (después de Leonard James Rogers, quien publicó documentos con Ramanujan en 1919). En el cuaderno perdido, F ( q ) representa S ( q ).
R ( q ) es una fracción continua de la forma: 
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y de manera similar para S ( q ). (La presencia del prefactor 
hace que varias fórmulas sean más agradables). Las definiciones más formales son las siguientes: 
Estas funciones están relacionadas por 
. Muchos trabajos publicados mencionan S ( q ) = – R (- q ), pero eso es incorrecto debido a los cortes de ramas. También podemos definir R y S de una manera que pueda evaluarse más rápidamente a través de los símbolos q-Pochhammer. 
Aquí hay imágenes del comportamiento de la función R en el disco de la unidad en el plano complejo. Los valores devueltos pueden ser complejos, por lo que estas imágenes muestran los valores imaginarios, reales, de argumentos y absolutos (Im, Re, Arg y Abs) de la función R ( q ). El círculo unitario en sí mismo es el límite natural de la analiticidad y tiene un conjunto denso de singularidades de la función R ( q ). Como se puede ver, las funciones Roger-Ramanujan son hermosas, no solo por sus propiedades matemáticas, sino también visualmente. 
Las funciones R y S son dos de las pocas funciones con nombre dedicadas a fracciones continuas. Recientemente, hemos estado recopilando teoremas y fórmulas para R y S , incluidos los incompletos en esta pieza del cuaderno “perdido” original de Ramanujan. Esa línea al final es equivalente a 
. 
Muchos de estos se han encontrado desde que Ramanujan los escribió. Todos estos se resuelven fácilmente con Mathematica . Enumeramos los valores junto con los primeros solucionadores conocidos, con las soluciones de Oleg Marichev que Mathematica realizó por primera vez. 
Bruce Berndt señaló: “El valor de 
puede determinarse utilizando el valor de 
junto con una famosa ecuación modular que conecta R ( q 5) con R ( q ). No registramos el valor aquí, porque no es particularmente elegante ”.
Con Simplify, RootReduce y muchas otras funciones de Mathematica , las ecuaciones grandes se pueden reducir a su forma más elegante. Ramanujan utilizó la tiza y su mente para simplificar la mayoría de sus resultados: los largos resultados que borró de su pizarra, pero los elegantes resultados que escribió. Nos parece probable que Ramanujan realmente conociera la solución elegante, o al menos un método para encontrarla, simplemente no tuvo tiempo de escribirla. Aquí hay un método que usamos. Primero, calcule un valor numérico para el punto de interés. Segundo, conjetura una forma algebraica cerrada para este número. Tercero, exprese el número algebraico como radicales anidados. Finalmente, verifique el formulario conjeturado con muchos dígitos de precisión. 
Luego verificamos que el valor numérico de la forma conjeturada sea el mismo que el valor de la función. Los valores están de acuerdo con al menos 10000 lugares. 
Dado que ambos son números algebraicos con representaciones elegantes, este es un cheque bastante convincente. Y el método puede generalizarse fácilmente para encontrar muchos más valores, hasta ahora desconocidos, para S (q) , y de manera similar para R (q) .
Una prueba real se puede lograr usando ecuaciones modulares. Esta es la ecuación modular de orden 5 para S : 
Usamos el valor previamente conocido para
para S ( q 5) y resolver para S ( q ) para obtener un valor para 
. 
Al borrar los denominadores, obtenemos la forma anterior del resultado. 
Las ecuaciones de Ramanujan están relacionadas con el trabajo que hemos realizado recientemente para agregar una gran cantidad de conocimiento de fracciones continuas a Wolfram | Alpha. En un blog futuro, ampliaremos las nuevas capacidades, como la fracción continua de entrada K (1, n, {n, 1, inf}).
También reunimos una lista de cientos de valores exactos en la demostración interactiva “Ramanujan R and S ”
Soure: blog de Wolfarm