-A2A-
Bueno, es importante tener en cuenta que la función [matemáticas] f (x) = \ sqrt {cot (x ^ 2)} [/ matemáticas] es una función compuesta (anidamiento de funciones). Es un anidamiento de tres niveles aquí. La idea de diferenciar cualquier función compuesta implica la identificación de diferentes anidamientos y luego aplicar la regla de la cadena.
¿Cómo identificamos las funciones involucradas en la función compuesta dada? Bueno, no es difícil si está familiarizado con las funciones elementales fundamentales como funciones trigonométricas, funciones radicales, funciones polinómicas, funciones recíprocas, funciones logarítmicas y exponenciales. Nuevamente, debemos estar atentos para no alterar el nivel de anidamiento.
La idea es comenzar desde la izquierda y anotar las funciones elementales que puede identificar. La función primaria más a la izquierda es la función de raíz cuadrada [math] 2 \ sqrt {x} [/ math]. En el momento en que nos deshacemos de él, necesitamos movernos dentro de él. Entonces, podríamos ver que hay una función trigonométrica cotangente función cot (x). Entremos en la cotangente. Es la función cuadrada [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas], la función más interna. ¡Bien! Entonces hemos identificado funciones elementales involucradas en la función compuesta.
- ¿Cuál es la diferencia entre un ingeniero y un matemático?
- ¿Cómo hace un matemático o alguien bueno para abordar un problema matemático desconocido?
- Según su experiencia, ¿quién tiende a ser el más extraño: matemáticos, físicos, químicos o biólogos?
- ¿Por qué hay muchos grandes matemáticos de Rumania?
- ¿Sienten los matemáticos que Fermat encontró una prueba más simple y más “elegante” (sin ofender a Wiles) de su último teorema, o simplemente se equivocó?
Verifiquemos si tenemos razón. Deje [math] g (x) = 2 \ sqrt {x} [/ math], [math] h (x) = cot (x) [/ math] y [math] p (x) = x ^ 2 [/ matemáticas].
Para verificar la función compuesta, colocamos la función más interna [matemática] x ^ 2 [/ matemática] como la entrada a la función relativamente externa, es decir, cot (x).
Entonces, [matemáticas] h (p (x)) \ = cot (x ^ 2) [/ matemáticas]. Luego colocamos este anidamiento como la entrada a la función relativamente externa. En este caso, será la función más externa ya que hay tres niveles de anidamiento.
Entonces, [matemáticas] g (h (p (x))) \ = 2 \ sqrt {cot (x ^ 2)} [/ matemáticas]
Entonces, lo hicimos absolutamente correcto.
Ahora, debemos recordar que las funciones compuestas se pueden diferenciar con la ayuda de la regla de la cadena.
Deje y = [matemáticas] 2 \ sqrt {cot (x ^ 2)} [/ matemáticas] y estamos interesados en encontrar su derivada, es decir, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]
Asumimos variables para cada nivel de anidamiento. Deje [math] u = x ^ 2 [/ math], [math] v = cot (u) [/ math] y así, [math] y = 2 \ sqrt {v} \ = 2 v ^ {\ frac1 { 2}} [/ matemáticas]
u, v e y se pueden diferenciar con respecto a x, u y v respectivamente.
Entonces, [matemática] \ frac {du} {dx} \ = 2x [/ matemática], [matemática] \ frac {dv} {du} \ = -cosec ^ 2 (u) [/ matemática] y [matemática] \ frac {dy} {dv} \ = 2 * \ frac1 {2} v ^ {- \ frac1 {2}} \ = 2 * \ frac1 {2 \ sqrt {v}} \ = \ frac1 {\ sqrt {v} }[/matemáticas]
De la regla de la cadena:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac {dy} {dv} * \ frac {dv} {du} * \ frac {du} {dx} [/ math]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac1 {\ sqrt {v}} * (-csc ^ 2 (u)) * 2x [/ matemáticas]
Ahora, sustituya los valores correspondientes de u y v para que tengamos una expresión completa en términos de x.
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac1 {\ sqrt {cot (u)}} * (- cosec ^ 2 (x ^ 2)) * 2x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ = \ frac1 {\ sqrt {cot (x ^ 2)}} * (- cosec ^ 2 (x ^ 2)) * 2x \ = \ frac {2x} {\ sqrt {cot (x ^ 2)} sin ^ 2 (x ^ 2)} [/ math]
¡La expresión anterior es el tercer paso en la solución que publicó y el resto es toda simplificación!
Bueno, el proceso que te expliqué es el más adecuado para un principiante. Para alguien que ha pasado el tiempo suficiente haciendo Cálculo no necesita estar haciendo tantos pasos, aunque la idea sigue siendo la misma. Después de descubrir las funciones elementales, uno distinguiría directamente las funciones una por una, comenzando por la función más externa, luego a las funciones internas y finalmente a la función más interna.
Entonces, [matemáticas] \ frac {d} {dx} [2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}] \ = 2 \ cdot \ frac1 {2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}} \ frac {d } {dx} [cot (x ^ 2)] [/ math]
Diferenciamos la función más externa [math] \ sqrt {x} [/ math] manteniendo las funciones internas como están y multiplicando la diferenciación de la función interna. Eso es lo que hicimos en el largo proceso anterior.
El siguiente paso es diferenciar la función interna [math] cot (x) [/ math] manteniendo la función más interna como es y manteniendo la diferenciación de la función más interna en la multiplicación.
[matemáticas] \ frac {d} {dx} [2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}] \ = 2 \ cdot \ frac1 {2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}} * (-cosec ^ 2 (x ^ 2)) * \ frac {d} {dx} (x ^ 2) [/ math]
Finalmente diferenciando la función más interna para obtener:
[matemáticas] \ frac {d} {dx} [2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}] \ = 2 \ cdot \ frac1 {2 \ sqrt {cot (x ^ 2)}} * (-cosec ^ 2 (x ^ 2)) * (2x) [/ matemáticas]
Luego puede simplificarlo de la forma que prefiera.
¡Espero que ayude!