Es una cuestión de gustos.
Las variedades diferenciables son bastante flexibles, debido a un hecho / técnica llamada partición de la unidad. Si desea mejores resultados, puede agregar más estructuras a múltiples diferenciables.
Una forma de hacer esto es considerar múltiples complejos. Para las variedades complejas, requerimos que los mapas de transición sean biholomórficos (puede pensar en esto como suave en el sentido complejo) en lugar de ser simplemente liso. Esto puede no parecer mucho. Sin embargo, sabemos que cada múltiple complejo compacto de dimensión 1 es un múltiple algebraico. Y eso hace una gran diferencia. Las variedades algebraicas son muy rígidas. Por ejemplo, si tenemos una función algebraica definida en el múltiple, entonces podemos determinar la función simplemente conociendo su valor en un conjunto abierto pequeño arbitrario. Solo piense en esto: si f es una función algebraica definida en la línea real, y resulta que conozco su valor en un pequeño intervalo alrededor de 0, entonces puedo calcular el valor de f en todas partes.
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