¿Podemos resolver la conjetura de Collatz trabajando juntos?

Answer 1

Los esfuerzos de la comunidad para resolver en masa problemas matemáticos difíciles han sido probados, explícita y deliberadamente, varias veces en los últimos años. Los más destacados son los proyectos “polymath”, gestionados por Tim Gowers, Terry Tao, Gil Kalai y Michael Nielsen. Algunos de esos proyectos tuvieron al menos un éxito moderado, lo que resultó en trabajos publicados y avances medibles. Puede ver una encuesta de la historia y las actuales aquí.

La cuestión es que se necesita un profundo conocimiento, experiencia y dedicación para resolver con éxito los problemas para tales esfuerzos y gestionar la colaboración. Los problemas que se eligen son los que los expertos consideran que “tienen una oportunidad”: existe la sensación general de que tenemos las herramientas necesarias, pero ninguna persona sola las conoce todas.

La Conjetura de Collatz no está en esta categoría, me temo. Los problemas abiertos más conocidos no lo son. La gente no inicia proyectos de Polymath en la Hipótesis de Riemann o la conjetura de ABC o cualquier cantidad de conjeturas conocidas porque no ven la forma en que tal esfuerzo sea fructífero. Se cree que la conjetura de Collatz es difícil, e incluso hay algunas razones particulares para pensar eso, pero incluso eso no viene al caso: la mayoría de los problemas son difíciles .

Sé que esto es desalentador, pero la verdad es que para alguien que acaba de enterarse del problema, lanzar una colaboración basada en wiki de respuesta en Quora no es una receta para el éxito. Hay un conocimiento considerable [1] ya reunido en torno a la conjetura y no tiene mucho sentido ignorarla y comenzar de la nada. Debería comenzar con seminarios de intercambio de conocimientos, leer literatura reciente y generar ideas sobre qué enfoques podrían ser prometedores.

Lo siento pero así son las cosas.

Notas al pie

[1] Página en maa.org

Answer 2

Debes darte cuenta de que la comunidad académica de matemáticas es exactamente como lo que estás proponiendo, un grupo de personas que están tratando de resolverlo y están compartiendo resultados parciales para que otros puedan construir sobre ellos. Entonces, sí, se ha probado (y se está probando), y funciona bastante bien. Pero este problema es tan difícil que a menos que reclute una docena de expertos en teoría de números, no progresará mucho aquí. No soy matemático, pero sé lo suficiente para poder garantizarle virtualmente que ningún enfoque elemental funcionará para esto.

Si está decidido a probarlo, al menos debe hacerlo en MathOverflow, que tiene muchos matemáticos más competentes que lo leen.

El tipo de cosas que pones en la wiki es como tratar de decir, vamos a la luna. Sé cómo construir una escalera, construyamos una juntos. El tipo de álgebra básica que utilizas es como construir una escalera y puedes seguir construyéndola bastante alta, pero realmente necesitas un cohete y no eres un científico de cohetes.

O, de otra manera, la comunidad matemática está teniendo un teorema del bebé, y tomará 9 meses para que alguien lo lleve, al final, no importa cuántos hombres estén dando consejos, y al final será un bebé. , no 10 partes de bebés producidos en paralelo.

Answer 3

Usted pregunta, ¿podemos resolver la conjetura de Collatz trabajando juntos?

Por supuesto, ayuda tener una comunidad de investigadores con un objetivo común, pero eso no es suficiente cuando la pregunta en consideración no es finita. Hay conjeturas antiguas, como la conjetura de números perfectos impares (que dice que no hay ninguna) que no han sido respondidas en más de 2300 años, y muchas otras conjeturas más recientes en las que muchos teóricos de números y matemáticos han trabajado sin resolución.

La conjetura llamada el último teorema de Fermat fue finalmente respondida después de cientos de años por un individuo, Andrew Wiles, quien era uno de los muchos en una amplia comunidad de investigadores. Su contribución fue exclusivamente suya, una que le llevó muchos años de investigación concentrada para encontrar, basándose en los resultados de muchos otros.

Quizás la conjetura de Collatz pueda ser resuelta por una comunidad de investigadores que trabajen juntos, pero no es seguro. Es posible que permanezca sin resolver durante 2300 años más.

Answer 4

Por qué no, siempre que haya buena voluntad. Mi enfoque incluye un gráfico explicativo. Esto resume lo que se describe a continuación.

Conocía la suposición con un nombre diferente para el que no encontré información, por lo que mi esfuerzo no se ve afectado por el trabajo de otros. Sin embargo, en los documentos de aquellos que afirman haber demostrado la suposición, no vi nada nuevo. Sin embargo, hay algunos resultados interesantes que no vi en su propio trabajo. Presentaré algunos de ellos sin rigor matemático.

Deje que [math] N_1 [/ math] sea un término extraño de una secuencia de Collatz [math] N_1, N_2, \ ldots [/ math]. Lo escribimos en el formulario

[matemáticas] N_1 = 2 ^ nq – 1 [/ matemáticas]

donde [math] q [/ math] es un número impar. Entonces será

[matemáticas] N_ {2n + 1} = 3 ^ nq – 1 [/ matemáticas]

que es un número par

Por ejemplo, si [matemática] N_1 = 7 [/ matemática] entonces escríbala [matemática] N_1 = 2 ^ 3 \ cdot 1 – 1 [/ matemática], entonces será [matemática] N_ {2 \ cdot 3 + 1 } = N_7 = 3 ^ 3 \ cdot 1 – 1 = 26 [/ math]. De hecho, siguiendo las reglas obtendremos [matemáticas] 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26 [/ matemáticas].

Por lo tanto, podemos ignorar los términos predecibles que se encuentran entre los términos [matemática] 2 ^ nq – 1 [/ matemática] y [matemática] 3 ^ nq – 1 [/ matemática] y solo tratar con el último. Cabe señalar, sin embargo, que todos los términos intermedios se escriben en la forma [matemáticas] 2 ^ d (6r – 1) [/ matemáticas], mientras que el último se escribe en la forma [matemáticas] 2 ^ d (6r \ pm 1 ) [/ math] (esto significa que ningún término de la secuencia de Collatz puede ser un múltiplo de [math] 3 [/ math], excepto el primero).

En base a esto, nos gustaría saber cuál es el valor de [matemáticas] d [/ matemáticas] en el término [matemáticas] 2 ^ d [/ matemáticas] por el cual tenemos que dividir el número [matemáticas] 3 ^ nq – 1 [/ math] para obtener un número impar. Por lo tanto, esperamos alcanzar el término [matemáticas] N_ {2n + 1 + d} [/ matemáticas] y así cerrar la cadena de esta secuencia local de Collatz con este número escrito en el mismo formato que [matemáticas] N_1 [/ matemáticas], con la esperanza de que podamos encontrar una relación que vincule los dos términos.

Pero eso no parecía fácil, por lo que estamos invirtiendo la pregunta:

Si se dan [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas], entonces ¿qué números impares [matemáticas] p_k [/ matemáticas] y [matemáticas] q_k [/ matemáticas] satisfacen la relación

[matemáticas] p_k = \ frac {3 ^ n q_k – 1} {2 ^ d} [/ matemáticas]

para [matemáticas] k = 0, 1, 2, \ ldots [/ matemáticas]?

Encontré el siguiente método.

Definimos

[matemáticas] B_n = \ dfrac {3 ^ {n + \ frac {1 – (-1) ^ n} {2} + 1}} {2} [/ matemáticas]

que siempre es un número impar. Luego definimos la función

[matemáticas] f_n (d) = (2 \ cdot 3 ^ n – 1) B_n ^ d \ bmod 2 \ cdot 3 ^ n [/ matemáticas]

Entonces las soluciones [matemáticas] p_k, q_k [/ matemáticas] están dadas por las relaciones

[matemáticas] p_k = f_n (d) + 2 \ cdot 3 ^ nk, (0 \ lt p_k \ lt 2 \ cdot 3 ^ k) [/ matemáticas]

[matemáticas] q_k = \ frac {2 ^ d p_0 + 1} {3 ^ n} + 2 ^ {d + 1} k, (0 \ lt q_k \ lt 2 ^ {d + 1}) [/ matemáticas]

para [matemáticas] k = 0, 1, 2, \ ldots [/ matemáticas].

Si [math] n [/ math] es fijo y [math] d [/ math] escanea los valores [math] 1, 2, \ ldots, 2 \ cdot 3 ^ {n – 1} [/ math] entonces [math] f_n (d) [/ math] produce un grupo recurrente de números que consiste en [math] 2 \ cdot 3 ^ {n – 1} [/ math] términos que constituyen un reordenamiento de números que tienen la forma [math] 6 \ nu \ pm 1 [/ math] y que son más pequeños que el número [math] 2 \ cdot 3 ^ n [/ math].

Por lo tanto, se aplicará

[matemáticas] f_n (d) = f_n (d + 2 \ cdot 3 ^ {n – 1} k) [/ matemáticas] para [matemáticas] k = 0, 1, 2, \ ldots [/ matemáticas]

Así, por ejemplo, será [matemáticas] f_n (2 \ cdot 3 ^ {n – 1}) = 2 \ cdot 3 ^ n – 1 [/ matemáticas]

Cuando aparecen patrones repetitivos en el curso de una investigación, podemos encontrar estructuras interesantes del objeto que estamos examinando con la ayuda de diagramas circulares. Veremos un ejemplo para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas].

Con base en lo anterior, tendremos

[matemáticas] f_3 (d) = 53 \ cdot 41 ^ d \ bmod 54 [/ matemáticas]

Para [matemática] d = 1, 2, \ ldots, 18 (= 2 \ cdot 3 ^ {n – 1}) [/ math] se forma la siguiente tabla

[matemáticas] \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline d y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y 11 y 12 y 13 y 14 y 15 y 16 y 17 y 18 \\ \ hline f_3 (d) Y 13 y 47 y 37 y 5 y 43 y 35 y 31 y 29 y 1 y 41 y 7 y 17 y 49 y 11 y 19 y 23 y 25 y 53 \\ \ hline \ end {array} [/ math]

Los números [math] f_n (d) [/ math] son ​​una reordenación de los números naturales más pequeños que [math] 54 [/ math], con la excepción de aquellos divididos por [math] 2 [/ math] y [math] 3 [/ matemáticas].

Escribimos estos números en orden ascendente y les ponemos marcadores [matemática] 0 – 17 [/ matemática], comenzando con el término [matemática] 1 [/ matemática], en función de la relación [matemática] \ nu = 3 ^ n + k \ bmod 18 [/ math] para [math] k = 1, 2, 3, \ ldots, 3 ^ n + 2 \ cdot 3 ^ {n – 1} [/ math].

Entonces obtenemos las correspondencias

[matemáticas] \ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ nu y 10 y 11 y 12 y 13 y 14 y 15 y 16 y 17 y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 \\ \ hline f_3 y 1 Y 5 y 7 y 11 y 13 y 17 y 19 y 23 y 25 y 29 y 31 y 35 y 37 y 41 y 43 y 47 y 49 y 53 \\ \ hline \ end {array} [/ math]

Doblamos esta tabla para que sus elementos se encuentren en los vértices de un imaginario normal [math] 18 [/ math] -gon y luego unimos los vértices correspondientes a los términos sucesivos de [math] f_3 [/ math] con un solo trazo de la pluma, notando incluso las flechas de la dirección que seguimos. Para mostrar mejor la estructura subyacente de [math] f_3 [/ math], alternamos los colores de las partes sucesivas de la línea discontinua de azul a rojo.

Ahora podemos distinguir en el esquema resultante algunas características interesantes que son comunes a todas las funciones [math] f_n [/ math]:

• Hay dos patrones simétricos similares de diferente color.
• Si giramos un patrón por [math] 360 ^ \ circ / 18 = 20 ^ \ circ [/ math], entonces coincidirá con el patrón del otro color, incluidas las flechas.
• Las flechas de un color muestran los números de [math] f_3 [/ math] que tienen la forma [math] 6r – 1 [/ math], mientras que las flechas del otro color muestran los números de la forma [math] 6r + 1 [/ matemáticas].
• Cada [matemática] 2 \ cdot 3 ^ {n – 2} [/ matemática] – el acorde es paralelo a la inicial y tiene el mismo color. Esto significa que los acordes son por tres paralelos entre sí.
• La envoltura de estos motivos es un cardioide, que se hace evidente para valores grandes [matemáticos] n [/ matemáticos].

Lo anterior demuestra que es casi improbable que una secuencia de Collatz sea conducida a un ciclo cerrado que no incluya el elemento [math1 [/ math]] y sea menos probable que se desvíe.

Estas son otras indicaciones de la validez de las conjeturas de Collatz.

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Algunos errores han sido corregidos.

Answer 5

Esto es lo que sé hasta ahora …

Cada número natural es una potencia de 2 o no lo es.

Cada potencia de 2 finalmente producirá ‘1’ cuando se ejecute el algoritmo HOTPO.

Cada número par finalmente producirá un número impar.

Cada número impar se puede expresar como:

1mod (2), y

1mod (4) o 3mod (4), y

1mod (8) o 3mod (8) o 5mod (8) o 7mod (8), y

1mod (16) o 3mod (16) o 5mod (16) o 7mod (16) o 9mod (16) o 11mod (16) o 13mod (16) o 15mod (16), y así sucesivamente.

Observe lo que sucede cuando ejecuto el algoritmo HOTPO hasta llegar a un número impar. Cada número se ha convertido ahora en:

1mod (2), y

1mod (4) y

1mod (8) o 3mod (8) o 5mod (8), y

1mod (16) o 5mod (16) o 7mod (16) o 11mod (16) y así sucesivamente …

Al ejecutar HOTPO hasta que obtengamos un número impar nuevamente, obtenemos

1mod (2), y

1mod (4) y

1mod (8) o 5mod (8), y

1mod (16) o 11mod (16), y así sucesivamente …

Tenga en cuenta que cada vez que ejecuto HOTPO, la lista se vuelve cada vez más corta.

Es obvio, en este punto, que si seguimos ejecutando HOTPO indefinidamente, terminaremos con

1mod (2), y

1mod (4) y

1mod (16) y

1mod (32), y así sucesivamente.

El único número que satisface la condición anterior, es decir, el único número que deja un resto de 1 cuando se divide por cualquier potencia de 2, es … (¡tamborileo, por favor!)

1!

Ahora, si lo piensas bien, la multiplicación por 3 partes no era realmente importante. Funcionará siempre que multipliquemos por cualquier número impar. Entonces, podría tener un algoritmo HOFPO (medio o cinco veces más uno), o un algoritmo HOSPO (medio o siete veces más uno) o mi favorito personal, HOPO (medio o más uno).

Ahí es donde he llegado hasta ahora. ¡Espero que esto haya ayudado! Si no fue así, tal vez esto:

Si la explicación no fue clara de alguna manera, comuníquese conmigo a [correo electrónico protegido]

Answer 6

Si es falso, podríamos (fíjate, dije que podría, ya que el contraejemplo sería enorme) hacer algo al respecto. Pero justo como dice un anuncio: no soy yo, es mi Schauma. En este caso sería tu computadora.

Conjetura de Collatz es un proyecto que intenta refutar la conjetura. En sus propias palabras:

Collatz es un proyecto de investigación que utiliza computadoras conectadas a Internet para realizar investigaciones en matemáticas. Puede participar descargando y ejecutando un programa gratuito en su computadora.

Conjetura de Collatz se basa en Wood Dale, Illinois. Es un proyecto BOINC de gestión privada que intenta refutar la Conjetura de Collatz. Para obtener más información sobre la Conjetura de Collatz, consulte la página Wikipedia Collatz. El proyecto Collatz Conjecture utiliza la optimización de secuencia de paridad y se ejecuta en Linux, Windows y OS X y puede utilizar CPU, así como tarjetas gráficas AMD, nVidia e Intel.

Surge la pregunta (como señaló Alon Amit en los comentarios), ¿cómo se puede llegar a un contraejemplo, es decir, demostrar que no termina? Supongo que esperan encontrar no un contraejemplo divergente, sino cíclico (es decir, que termine en un ciclo diferente al 4-2-1). Sin embargo, todavía es descabellado.

Otro proyecto de computación distribuida, On The 3x + 1 Problem trata el mismo problema, pero no tiene como objetivo probar o refutar la conjetura:

Sin embargo, las secuencias mismas y sus longitudes muestran algunas propiedades interesantes y plantean preguntas sin respuesta. Estas páginas proporcionan datos numéricos y proponen algunas conjeturas sobre este problema de aspecto inocente.

Answer 7

La estructura topológica de la conjetura de collatz

Integral de línea de la función racional f = F (d, n) = 3n + d, (d, n) ∈Q construyendo la transformación del campo numérico ： L → J → A⇆B, F = (x, y, z) = {Σf (x, y, z) | x = 3n + d, y = 3n-d, z = n / 2, (d, n) ∈Q} ： L = (x0, y0, z0) = {Σf (x0, y0, z0) | d = 0, n = 0, x0 = 3 × 0 + 0 = 0, y0 = 3 × 0-0 = 0, z0 = 0/2 = 0} → J = (x1, y1, z1) = {Σf ( x1, y1, z1) | d = 1, n = 0, x1 = 3 × 0 + 1 = 1, y1 = 3 × 0-1 = -1, z0 = 0/2 = 0} → A = (x2, y2, z2) = {Σf (x2, y2, z2) | d∈Q, n∈Q +, x2 = 3 × 1 + d, y2 = 3 × 1-d, z2 = n / 2} ⇆B = (x3, y3, z3) = {Σf (x3, y3, z3) El | d∈Q, n∈Q-, x3 = 3 × (-1) + d, y3 = 3 × (-1) -d, z3 = n / 2}. (1) La transformación de campo numérico se realiza a través de la ruta A: 【1】 (3 × 1 + d1-1) / 3 = (3 × 1-d1) / 2, d1 = 1; (3 × 1-d2-1) / 3 = (3 × 1 + d2) / 2, d2 = -1. 【2】 (3 × 1 + d3) / 2 = 2 (3 × 1 + d3), d3 = 9/5; (3 × 1 + d4) / 2 = 2 (3 × 1-d4), d4 = -9 / 5. 【3】 3 (3 × 1 + d5) + 1 = 2 (3 × 1 + d5), d5 = 4/5; 3 (3 × 1 + d6) + 1 = 2 (3 × 1-d6), d6 = -4 / 5. Tome d = 1, luego x2 = 4, y2 = 2, ciclo de topología disponible A = (4,2,1,4). De acuerdo con la regla de transformación, tome el punto fijo topológico n = 1, luego x4 = 3 × 1 + 1 = 4, y4 = 3 × 1-1 = 2, ciclo de topología disponible S = (4,2,1,4) = A, entonces S es homeomorfo a A, entonces un ciclo topológico (A, A) está disponible, entonces A es un solo dominio conectado, entonces la transformación 3n + 1 en el dominio integral positivo solo tiene un ciclo topológico A = (4,2 , 1, 4). (2) La transformación del campo numérico se realiza a través de la ruta B: <1> De (1), sabemos que esta transformación es equivalente a (1) cuando n = -1, entonces d = 1, x5 = -2, y5 = Ciclo topológico B = (-1, -2, -1), porque -4 ∉ B, entonces n = -1 no es un punto fijo topológico y no cumple con la regla de transformación, así que tome el punto fijo topológico n = – 2) <2> 【1】 [3 × (-2) -d7-1] / 3 = [3 × (-2) + d7] / 2, d7 = 4/5; [3 × (-2) + d8-1] / 3 = [3 × (-2) -d8] / 2, d8 = -4 / 5. 【2】 [3 × (-2) -d9] / 2 = 2 [3 × (-2) + d9], d9 = 18/5; [3 × (-2) + d10] / 2 = 2 [3 × (-2) -d10], d10 = -18/5. 【3】 3 [3 × (-2) + d11] + 1 = 2 [3 × (-2) -d11], d11 = 1; 3 [3 × (-2) -d12] + 1 = 2 [3 × (-2) + d12], d12 = -1. Tomando d = 1, entonces x6 = -5, y6 = -7, disponible el ciclo topológico C = (- 5, -14, -7, -20, -10, -5), de acuerdo con la regla de transformación, tome el Punto fijo topológico n = -14. <3> 【1】 [3 × (-14) -d13-1] / 3 = [3 × (-14) + d13] / 2, d13 = 8; [3 × (-14) + d14-1] / 3 = [3 × (-14) -d14] / 2, d14 = -8. 【2】 [3 × (-14) + d16] / 2 = 2 [3 × (-14) + d15], d15 = 126/5; [3 × (-14) + d16] × (-14) -d16], d16 = -126 / 5. 【3】 3 [3 × (-14) + d17] + 1 = 2 [3 × (-14) -d17], d17 = 41/5; 3 [3 × (-14) -d18] + 1 = 2 [3 × (-14) + d18], d18 = -41 / 5. Tome d = 8, luego x7 = -34, y7 = -50, ciclo de topología disponible D = (-34, -17, -50, -25, -74, -37, -110, -55, -164, – 82, -41, -122, -61, -182, -91, -272, -136, -68, -34). De acuerdo con la regla de transformación, tome el punto fijo topológico n = -17. <3> 【1】 [3 × (-17) -d19-1] / 3 = [3 × (-17) + d19] / 2, d19 = 49/5; [3 × (-17) + d20-1] / 3 = [3 × (-17) -d20] / 2, d20 = -49 / 5. 【2】 [3 × (-17) + d22] / 2 = 2 [3 × (-17) + d21], d21 = 153/5; [3 × (-17) + d22] × (-17) -d22], d22 = -153 / 5. 【3】 3 [3 × (-17) + d2] + 1 = 2 [3 × (-17) -d23], d23 = 10; 3 [3 × (-17) -d24] + 1 = 2 [3 × (-17) + d24], d24 = -10. Tomando d = 10, entonces x8 = -41, y8 = -61, podemos obtener el ciclo topológico E = (-41, -122, -61, ……, -41) = D, entonces E es homeomorfo a D, entonces está disponible un ciclo topológico (A, A), por lo que D es un solo dominio conectado, por lo que B, C, D son homotópicos entre sí, por lo que la transformación 3n + 1 en el dominio integral negativo tiene topología B, C, D 3 ciclos Conclusión: La transformación 3n + 1 en el dominio integral tiene A, B, C y D 4 ciclos topológicos.