Factorizar [matemáticas] 840 [/ matemáticas] como: –
[matemáticas] {N} = 840 = 2 ^ {3} 3 ^ {1} 5 ^ {1} 7 ^ {1} [/ matemáticas]
Que nuestros cinco términos sean de la forma:
[matemáticas] {term_1} = 2 ^ {x_1} 3 ^ {y_1} 5 ^ {z_1} 7 ^ {w_1} [/ matemáticas]
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[matemáticas] {term_2} = 2 ^ {x_2} 3 ^ {y_2} 5 ^ {z_2} 7 ^ {w_2} [/ matemáticas]
[matemáticas] {term_3} = 2 ^ {x_3} 3 ^ {y_3} 5 ^ {z_3} 7 ^ {w_3} [/ matemáticas]
[matemáticas] {term_4} = 2 ^ {x_4} 3 ^ {y_4} 5 ^ {z_4} 7 ^ {w_4} [/ matemáticas]
[matemáticas] {term_5} = 2 ^ {x_5} 3 ^ {y_5} 5 ^ {z_5} 7 ^ {w_5} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] {x_i} \ geq {0}, {y_i} \ geq {0}, {z_i} \ geq {0}, {w_i} \ geq {0} \ hspace {0.3cm} \ forall \ hspace { 0.05cm} {i} \ in [\, 1,5] \, [/ math]
Desde [math] {N} = \ prod_ {i = 1} ^ {5} {term_i} [/ math]
Por lo tanto, al comparar los exponentes en ambos lados, obtenemos ecuaciones [matemáticas] 4 [/ matemáticas] que son: –
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {5} {x_i} = 3 \ hspace {4cm} (1) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {5} {y_i} = 1 \ hspace {4cm} (2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {5} {z_i} = 1 \ hspace {4cm} (3) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {5} {w_i} = 1 \ hspace {4cm} (4) [/ matemáticas]
Claramente podemos resolver las ecuaciones anteriores por teorema multinomial.
La solución para la ecuación [matemáticas] (1) [/ matemáticas] es igual al coeficiente de [matemáticas] x ^ {3} [/ matemáticas] en la expansión de
[matemáticas] (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) [/ Matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {3 + 5-1} {5-1} = \ binom {7} {4} = 35 [/ matemáticas]
La solución para la ecuación [math] (2) [/ math] es igual al coeficiente de [math] x ^ {1} [/ math] en la expansión de la función generadora dada por
[matemáticas] (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) [/ Matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {1 + 5-1} {5-1} = \ binom {5} {4} = 5 [/ matemáticas]
La solución para la ecuación [matemáticas] (3) [/ matemáticas] es igual al coeficiente de [matemáticas] x ^ {1} [/ matemáticas] en la expansión de la función de generación dada por
[matemáticas] (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) [/ Matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {1 + 5-1} {5-1} = \ binom {5} {4} = 5 [/ matemáticas]
La solución para la ecuación [math] (4) [/ math] es igual al coeficiente de [math] x ^ {1} [/ math] en la expansión de la función generadora dada por
[matemáticas] (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) (1 + x ^ {1} + x ^ {2} + x ^ {3} + ………….) [/ Matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {1 + 5-1} {5-1} = \ binom {5} {4} = 5 [/ matemáticas]
Por lo tanto, el número total de soluciones [matemáticas] = 35 * 5 * 5 * 5 = 4,375 [/ matemáticas]