¿Por qué algunos matemáticos consideran el análisis complejo como “hermoso”?

Answer 1

Permítame darle mi respuesta subjetiva, aunque espero que otros tengan mejores razones, especialmente los expertos en análisis complejos.

Primero, ¿qué es hermoso ? Para mí, una cosa es hermosa si tiene muchas conexiones internas y externas sorprendentes, y si de alguna manera está completa (esto puede verse como la perfección). Si está construido o definido de una manera simple, pero es mucho más rico de lo que puede esperar de la forma en que está definido, ya que tiene muchas características emergentes inesperadas.

Dejando de lado las bellas aplicaciones de los números complejos a la geometría plana y a los fractales, y el hecho de que los números complejos permiten que las ecuaciones polinómicas tengan un conjunto completo de raíces, pasemos a la parte de análisis.

Uno esperaría, ya que un número complejo es muy parecido a un par de números reales, ese análisis complejo es similar al análisis real de más variables, excepto quizás más complejo. De hecho, es más simple y surgen características muy ricas. Las preguntas que los matemáticos consideraron útiles formular a menudo resultaron tener soluciones completas, que se podían obtener de manera elegante. Déjame enumerar algunos de estos.

Primero, ¿cómo define la derivada? Si hace esto para funciones definidas en el plano real y valoradas en el plano real, las derivadas parciales le darán una matriz 2 × 2. Pero si pide que la derivada no dependa de la dirección, obtendrá un número complejo, en su representación matricial. La condición para ser un número complejo y no una matriz real real 2 × 2 se expresa mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo mismo se puede obtener de diferentes condiciones, por ejemplo, para depender de la variable compleja pero no de su conjugado. A pesar de no pedir que la función compleja que satisface esta condición sea analítica , resulta ser, y puede expandirse o ser una serie de potencias de la variable compleja y no su conjugado. Tales funciones complejas se denominan holomórficas . Sus partes reales e imaginarias son funciones armónicas, por lo tanto , ondas.

Puede intentar extender una función holomórfica analíticamente a todo el dominio complejo. Puede hacerlo por series de potencia, y convergen muy bien en los discos. Muévase en otro punto y vuelva a hacer la serie de potencia y eventualmente puede extender la función a todo su dominio. Al ser analítico, debe conocer la serie de potencia en un punto, y define de manera única la extensión analítica máxima. La extensión analítica puede tener algunas bonitas singularidades, en cuyo caso es una función meromórfica , y estas singularidades también tienen algunas propiedades hermosas. Por ejemplo, la integral de la función en una curva es cero si no contiene singularidades, o está dada por algunos valores calculados en las singularidades que contiene. Entonces la integral a lo largo de una curva que une dos puntos no dependerá de la ruta, si entre las rutas no hay singularidades. Estas propiedades se utilizan para calcular varias integrales.

Otra buena propiedad es que si conoce los valores de una función en una curva cerrada, puede calcularla en cualquier punto dentro de la curva. Este es una especie de principio holográfico .

Las funciones holomórficas preservan los ángulos. Esto es muy bueno, ya que una función definida entre dos planos reales admitirá como transformaciones infinitesimales de las transformaciones lineales generales del plano, pero las funciones holomórficas admiten como transformaciones infinitesimales solo rotaciones y revelaciones. Por lo tanto, son transformaciones conformales . Muchas propiedades hermosas se desprenden de esta propiedad. Para cualquiera de los dos conjuntos abiertos simplemente conectados en el plano complejo, existe una función holomórfica que se mapea entre sí. En particular, cualquier forma abierta simplemente conectada puede mapearse en un disco, y el mapeo es conforme. Otra característica: el principio de reflexión , según el cual si la restricción de la función en una curva es puramente real, entonces la función es simétrica con respecto a esa curva. Esto tiene buenas aplicaciones para la electrostática.

El análisis complejo no es un caso particular de análisis real, tiene vida propia, en muchos aspectos más hermoso que el análisis real. La condición simple expresada por las ecuaciones de Cauchy-Riemann contiene un mundo rico, con propiedades ausentes en general en el análisis real. Tiene muchas propiedades geométricas agradables y muchas aplicaciones útiles para otras ramas de las matemáticas, así como en física. Me detendré aquí, sin agotar el tema.

Answer 2

El análisis complejo comienza esencialmente con una suposición muy descarada: “supongamos que hay una raíz cuadrada de -1, y la llamaremos i ” .   A partir de esa suposición, se ha desarrollado una rama completa de las matemáticas y esa rama en realidad nos permite tener impactos reales y significativos en varios pilares de la ingeniería moderna, y nos permite comprender y explorar aún más los números reales usando esta construcción teórica (a la ingeniería eléctrica le gusta lo complejo análisis tanto que robaron i y lo renombraron j – esos bastardos).

Varios admiradores del análisis complejo citarán la fórmula de Euler como quizás la pieza matemática más hermosa que existe, por una buena razón. No tengo tiempo para desglosar la fórmula, pero TLDR: la fórmula de Euler relaciona quizás los 5 números más importantes en matemáticas de la manera más elocuente.

Mi respuesta no es muy profunda porque tengo que escribir un montón de código porque me vendí y aprendí cosas de computadora en lugar de obtener un pHD. Dicho esto, el análisis complejo es un tema hermoso y realmente te dejará boquiabierto si te tomas el tiempo para entenderlo.

Answer 3

Diría que debido a que la función analítica tiene una construcción más bella, por ejemplo, una función analítica tiene sus valores absolutos limitados más “normalmente” en el sentido de que no “saltará”. Se relaciona con la llamada convexidad, en caso de que se refiera a la literatura. Un resultado fundamental en esta dirección quizás sea el principio máximo, que dice el valor de una función analítica dentro de una región conectada simple cerrada controlada de alguna manera por el valor en el límite.

Por cierto, podría mencionar que el estudio de la hipótesis de Riemann se centra principalmente en las áreas de la función zeta de Riemann y la teoría de números analíticos, que implican mucho análisis complejo.

De hecho, esta es la idea fundamental detrás de mi idea de las funciones pseudo-Gamma para tener aproximadamente la misma magnitud que la función Gamma de Euler en la región en cuestión. Estas funciones recientemente introducidas como familia son la única herramienta clave en mi prueba propuesta de la hipótesis de Riemann. Lector interesado, lea mi respuesta a otra pregunta en el siguiente enlace:

La respuesta de Yuanyou Fred Cheng a ¿Alguien puede probar o refutar la hipótesis de Riemann?