¿Los matemáticos definieron 1/2 y 2/4 como números diferentes? ¿Por qué?

Answer 1

Estás confundiendo la representación de un número con el número mismo.

El número racional medio puede representarse como [math] \ frac12 [/ math] o [math] \ frac24 [/ math] entre otras cosas. Al igual que el número natural trece puede representarse como [matemáticas] 13 [/ matemáticas] o [matemáticas] 15_8 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 + 7 [/ matemáticas] o [matemáticas] s (12) [/ matemáticas] entre otras cosas.

Los matemáticos están interesados ​​en mirar más allá de la mera representación de las cosas a las propiedades de las cosas mismas. Como resultado, definen un número racional como una clase de equivalencia de pares ordenados de números naturales bajo la equivalencia

[matemáticas] (a, b) \ sim (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc [/ matemáticas]

Esto proporciona el efecto deseado de [matemática] \ frac {a} {b} = \ frac {c} {d} [/ matemática] si y solo si la fracción es “[matemática] a [/ matemática] dividida por [matemática ] b [/ math] “como se esperaba. La clase de equivalencia agrupa todas las diferentes representaciones del mismo objeto subyacente.

Por cierto, los matemáticos también definen números enteros (números enteros positivos y negativos) mediante clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. En este caso la equivalencia es

[matemáticas] (a, b) \ sim (c, d) \ Leftrightarrow a + d = b + c [/ matemáticas]

Esto da el efecto deseado de que [matemática] (a, b) [/ matemática] significa “[matemática] a [/ matemática] menos [matemática] b [/ matemática]” y escribimos [matemática] (0, b) [ / math] como [math] -b [/ math] para los números negativos. Tenga en cuenta que menos uno tiene muchas representaciones que incluyen [matemáticas] 2-3,8-9 [/ matemáticas] y así sucesivamente, al igual que las muchas representaciones para la mitad.

Si realmente comprende esta noción de la diferencia entre un número y su representación, se sorprenderá menos de que haya múltiples representaciones de cualquier número dado en notación decimal. El que genera más calor que luz para muchas personas es

[matemáticas] 1.0 = 0.999 \ dotsc [/ matemáticas]

que son simplemente representaciones diferentes del mismo número real subyacente (que es igual al número natural uno y al número racional [math] \ frac22 [/ math]).

Answer 2

[matemática] 1/2 [/ matemática] y [matemática] 2/4 [/ matemática] son ​​representaciones diferentes del mismo número real. El número superior es la mitad del número inferior, por lo que en ambos casos el número es la mitad. Otra representación es con decimales [matemática] 1/2 = 0.5 [/ matemática].

El símbolo / es lo mismo que la división. [matemáticas] a / b = \ frac {a} {b} [/ matemáticas]

Answer 3

Hay un patrón muy común en matemáticas, donde tomas un grupo (conjunto) de objetos que se ven diferentes, y luego declaras que algunos de ellos son iguales (equivalentes), porque la diferencia aparente no es relevante para tu tarea.

Entonces puede tomar fracciones como [math] \ frac {a} {b} [/ math] y [math] \ frac {c} {d} [/ math] y decir que son iguales cuando [math] ad = bc [/ math]. Ahora, si no sabías qué fracciones eran, eso es algo extraño, pero por supuesto que lo sabes, esta es exactamente la condición correcta si una fracción representa división. Entonces, si estos pares de objetos de aspecto extraño escritos encima / debajo de una línea representan números racionales, entonces ambas formas de escribirlos se refieren a la misma cosa, pero siguen siendo dos formas diferentes de escribirlo.

Puedes imaginar circunstancias en las que no te interesan las fracciones como números racionales, sino como algo más. Por ejemplo, 2/4 son dos cuartos (monedas) y 1/2 es una moneda de medio dólar. Entonces no son lo mismo, aunque representan la misma cantidad de dinero.

Answer 4

No, si observa cómo se construyen los racionales a partir de los enteros, entonces 1/2 y 2/4 se definen para que sean iguales. Hay una construcción general llamada campo de cocientes de un dominio integral que básicamente formaliza la idea de tomar los enteros y formar los racionales como pares [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] donde [matemáticas] b \ neq 0. [ / math] Luego define dos pares [math] (a, b) [/ math] y [math] (c, d) [/ math] para que sean equivalentes cuando [math] ad = bc. [/ math] Las clases de equivalencia de un par [math] (a, b) [/ math] se denota por [math] a / b. [/matemáticas]

Answer 5

No, son el mismo número. Dos números iguales se consideran iguales, es el truco.

Es bueno tener muchas formas de escribir cada número. Ejemplo: ¿son 7/3 y 53669/23001 el mismo número? La posibilidad de que pueda estar escribiendo el mismo número de diferentes maneras hace que sea fácil plantear la pregunta.

En la segunda pregunta, no hay diferencia entre el resultado de la división a / by la fracción [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática].

Si la pregunta es “¿por qué la división y las fracciones se enseñan como si fueran temas diferentes?” … Creo que tendrías que preguntar a los desarrolladores de currículo de primaria, no a los matemáticos.

Answer 6

Como fracciones, como han dicho otros, representan el mismo número pero no son lo mismo. Representar no es lo mismo que ser.

Por ejemplo, deux y two representan el mismo número entero pero no puedes intercambiarlos.

Si un matemático y un colega visitante piden 2 cuartos de libra pero reciben media libra, pueden divertirse o no.

Answer 7

No, no lo hicieron.

‘1/2’ y ‘2/4’ son solo dos formas diferentes de escribir el mismo número, al igual que ‘seis’ y ‘6’ son dos formas diferentes de escribir el mismo número.

Hay una variedad ilimitada de formas de escribir cualquier número dado. Simplemente puede elegir el más conveniente para adaptarse a lo que está haciendo. No es la gran cosa.