Este fue mi manifiesto matemático adolescente, compuesto y dirigido durante mis años de secundaria, alrededor del cambio de milenio.
Claramente, se necesita una nueva fórmula para la distancia armónica (Hd). Sabemos que la distancia armónica de 2 (cuando solo se da una variable para una función de distancia, se supone que representa la distancia entre esa variable y el origen, que es 1 para la distancia armónica y generalmente 0 para la distancia estándar) igual a la distancia armónica de 1/2. En términos más amplios:
El desafío es encontrar una ecuación para la cual estas condiciones sean ciertas. Está claro que Hd (0) = ∞, por lo que la ecuación es isintótica. También está claro que Hd (1) = 0. Con un análisis más detallado, queda claro que la función deseada es logarítmica:
Es importante tener en cuenta la similitud entre la ecuación final y la ecuación de distancia original:
El propósito de obtener esta fórmula radica en el problema más amplio del valor estético. Muchos matemáticos han creado soluciones parciales al problema de la estética, pero ninguna es tan precisa como la que se describe en este artículo, según el conocimiento del autor.
Pitágoras fue uno de los primeros en buscar una solución matemática a la estética. Su investigación se centró en la relación armónica entre tonos musicales o consonantes. Descubrió que se podía crear una escala de tonos adecuada usando proporciones usando solo dos y tres como factores. Por ejemplo:
Euler desarrolló una teoría que describía el valor armónico de dos tonos tocados juntos según el tamaño de los factores primos de la proporción de los tonos. Si suponemos que un entero está en forma de factor primo (donde p_n representa la enésima prima yk representa su número de apariciones):
Entonces el valor armónico (grado de dulzura de Euler) de un entero es:
Al estudiar la fórmula, queda claro que el resultado será menor si solo se usan primos bajos, y mayor si existen primos altos (o muchos primos) en el entero.
Para tener en cuenta tanto las razones como los enteros, Euler dijo:
Ray Thomes señaló una secuencia que tiende a corresponder a valores armónicos. Esta secuencia se genera contando el número de divisores que tiene un número entero. Por ejemplo, 12 tiene 6 divisores, 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Thomes muestra que, si uno estudia esta serie (especialmente entre 24 y 48), los puntos más altos corresponden a las proporciones de las escalas modernas.
Otra opinión común es que la consonancia se basa en armónicos. Los armónicos son tonos cada vez más inaudibles que se escuchan cuando se reproduce un tono en un instrumento. Existen al doble de la frecuencia del tono, tres veces la frecuencia del tono, cuatro veces, cinco veces, etc. Por lo tanto, cuando se tocan dos tonos juntos, ciertos armónicos resultan ser los mismos. Por ejemplo, si se reproduce un tono de 220 Hz con un tono de 330 Hz, el tercer sobretono del primero se alinea con el segundo sobretono del segundo, produciendo así un tono consonante. Esto se ilustra en el trabajo de Norman Sohl.
Mi propia investigación ha llevado a una teoría diferente. Cuando dos tonos se tocan juntos, sus ondas de sonido se suman. Por lo tanto, si se agrega una frecuencia de 220Hz a una frecuencia de 330Hz, la duración del tono general ha aumentado. Más simplemente, si se agregan dos funciones periódicas, una con un período de 2 y la otra con 3, el nuevo período será más largo (6):
Así, la disonancia de dos tonos se aproxima por:
Este teorema considera que una relación con elementos mayores es “más larga” y, por lo tanto, más disonante. Las proporciones con elementos más pequeños son “más cortas” y más consonantes. Este teorismo es una aproximación porque es muy difícil obtener datos experimentales sólidos para probarlo o refutarlo, o las otras teorías dadas anteriormente. Además, comparte una falla que existe en cada teoría matemática de la consonancia que hemos discutido.
La relación de 2: 1 es relativamente consonante. Esto se muestra en todas las teorías de consonancia presentadas. Sin embargo, la proporción de 2001: 1000 también es consonante, casi tan consonante como 2: 1. Sin embargo, toda teoría de consonancia presentada la consideraría muy disonante. Este es el defecto y el obstáculo principal en el desarrollo de una completa combinación matemática de consonancia.
Para determinar la ecuación necesaria, volveremos al problema del medidor y determinaremos cuánto es un valor para el punto del medidor como otro valor indicado por el medidor. Según Wayne Hild, esta ecuación probablemente puede describirse utilizando una curva de campana normal. Diremos que h representa la sensibilidad del observador; 2000 es un valor típico para la música.
En palabras, la consonancia de dos tonos con respecto a una determinada proporción es igual a la cercanía armónica de las proporciones por la consonancia de esa proporción. En realidad, nuestros oídos comparan dos tonos que se escuchan juntos en cada proporción. En otras palabras, tenemos en cuenta todas las razones posibles de Ns. Así:
Ahora podemos expandir esta fórmula usando los Teóricos 3 y 4. También la invertiremos para representar la consonancia en lugar de la disonancia.
Estos gráficos representan el valor armónico de dos tonos tocados juntos cuya relación está representada por los ejes x. Corresponden excelentemente a la realidad.
El siguiente problema es el de la consonancia de más de dos tonos. Ahora desarrollaremos una teoría más amplia del valor armónico, una que pueda decidir la consonancia de los acordes más complejos, como las tríadas.
Es difícil probar o aplicar las ideas que hemos discutido a la música sin transponerlas primero a escalas modernas e ideas musicales. La escala occidental moderna consta de doce tonos que se puede decir que aumentan en proporción de 1 a 2. Estos tonos se repiten para crear una escala de varias octavas. La distancia entre dos tonos en esta escala varía, pero la relación (y la distancia armónica) entre dos tonos vecinos siempre permanece igual. Por lo tanto, se llama la escala equitemperada.
Si R (n) es la razón de la nota n a la fundamental (nota 0), entonces uno puede generar las razones en esta escala de la siguiente manera:
Se usa la escala de doce tonos, en lugar de una con más o menos tonos, porque su séptimo valor (1.49831) está muy cerrado 1.5, que es consonante.
Los siete tonos más consonantes en la escala equitemperada constituyen la escala mayor, y se dice que representan la escala de entonación justa que consiste en razones de consonantes puras. Sin embargo, la escala equitemperada no se ajusta perfectamente a la escala de entonación justa, lo que se puede ver cuando se trazan juntos:
Es debido a esta imperfección que ciertos acordes no son tan consonantes como cabría esperar. Sin embargo, a diferencia de otras teorías de consonancia, nuestra teoría es capaz de determinar el valor armónico de un acorde mientras considera las imperfecciones. Simplemente tenemos que usar las proporciones de la escala equitemperada como entrada:
La gráfica anterior da el valor armónico del tono indicado por el eje x cuando se toca con la raíz.
Este gráfico (h = 2000, t = 420) muestra el valor armónico de una tríada compuesta por dos de los 12 tonos equitemperados y el fundamental (1). Para mayor claridad, hemos eliminado todos los acordes con una nota repetida porque estos no son tríadas y están representados en la trama anterior (para acordes diatónicos).
Por lo tanto, las tríadas más consonantes en el rango mostrado son el acorde mayor (1: 5/4: 3/2), la segunda inversión del acorde mayor (1: 4/3: 5/3), un acorde que consiste en el raíz, el cuarto (4/3) y el quinto (3/2), el acorde menor (1: 6/5: 3/2), el séptimo acorde sin el tercero (1: 3/2: 7/4 ), un acorde que consiste en la raíz, el quinto (3/2) y el sexto (5/3), la primera inversión del acorde mayor (1: 5/4: 5/3) y el séptimo menor ( 1: 6/5: 7/4). El acorde más disonante consiste en la raíz, el segundo menor y el segundo mayor (9/8).
Ahora podemos derivar una función que describe la relación entre el valor armónico y el valor estético, utilizando una constante estética (A) que indica el valor armónico ideal. Esta función tendrá las mismas propiedades que una curva de campana y, de hecho, tiene muchas de las mismas propiedades que la cercanía armónica. Por esta razón, calcularemos la relación con la cercanía armónica donde h = 1. Además, debemos tener en cuenta el hecho de que las proporciones muy grandes y muy pequeñas tienen un valor estético bajo debido a la dificultad de distinguir una relación entre ellas. Utilizaremos nuevamente la cercanía armónica para representar este efecto.
La trama anterior representa los valores estéticos de un acorde diatónico.