Al factorizar trinomios, ¿cuál es la intuición detrás de la necesidad de encontrar dos números cuya suma = coeficiente en ‘x’, y cuyo producto = la constante?

Answer 1

Puede ver por qué utilizamos el procedimiento para frustrar el producto de dos binomios generales.

[matemáticas] (x + a) (x + b) = x ^ 2 + bx + ax + ab = x ^ 2 + (a + b) x + ab [/ matemáticas]

Observe que el coeficiente antes de [math] x [/ math] es [math] (a + b) [/ math] mientras que el término constante es [math] ab [/ math]. Eso significa para todas las cuadráticas de la forma [matemática] x ^ 2 + cx + d [/ matemática], si podemos ajustar esa cuadrática en la forma [matemática] x ^ 2 + (a + b) x + ab [/ matemática ] (donde [matemáticas] a + b = c [/ matemáticas] y [matemáticas] ab = d [/ matemáticas]), podemos factorizarlo como el producto de dos binomios [matemáticas] (x + a) (x + b )[/matemáticas]. Hacerlo es exactamente lo mismo que encontrar dos números que se multiplican a [matemáticas] d [/ matemáticas] y también suman a [matemáticas] c [/ matemáticas].

Answer 2

Primero, desea encontrar las raíces de este polinomio cuando desea realizar la factorización. Si el polinomio cuadrático tiene al menos una raíz, puede escribirlo en forma de:

F (x) = a (xb) (xc)

Donde byc son las raíces.
Porque después de multiplicar terminamos con x en la potencia 2 (por lo que es cuadrática) y su valor es igual a 0 cuando x = b o x = c.

Después de la multiplicación tenemos:

F (x) = a (x ^ 2- (b + c) x + bc)

Entonces cuando tenemos algo de polinomio

G (x) = dx ^ 2 + ex + f

Podemos cambiarlo a

d (x ^ 2 + (e / d) x + f / d)

Y ahora queremos encontrar tales números byc que
Su suma: b + c = -e / d
y
Su producto: bc = f / d

Si encontramos que conoceremos las raíces y podremos realizar la factorización

G (x) = d (xb) (xc)

Answer 3

Suponga que desea factorizar [matemáticas] x ^ 2-5x + 6 [/ matemáticas].

Obtendría [matemáticas] (x-2) (x-3) [/ matemáticas].

Pero suponga que no sabe cuáles fueron los factores. Comenzarías con:

[matemática] (x + b) (x + c) [/ matemática] e intenta descubrir b y c.

Multiplique estos para obtener: [matemáticas] x ^ 2 + (b + c) x + bc [/ matemáticas].

1. Sabes que ese coeficiente del término medio es -5. Entonces [matemáticas] b + c = -5. [/ Matemáticas]
2. Además, usted sabe que ese término constante es 6. Entonces [matemática] b * c = 6 [/ matemática].

Y esta es la intuición de que necesitas dos números cuyo producto da el término constante y cuya suma es el coeficiente del término medio.

Así que ahora te quedan dos ecuaciones en dos incógnitas, y puedes resolver b y c.