Gracias por el A2A.
Comenzando con la historia de Ramanujan con series y ecuaciones, se le ocurrieron muchas series y ecuaciones con la ayuda de las mismas pruebas de intelecto que luego dio él (en colaboración con GH Hardy) o por otros matemáticos, mientras que algunas de sus afirmaciones son Aún no probado.
En cuanto a “¿Cómo se le ocurrió a Ramanujan su fórmula [matemática] \ pi [/ matemática] ?” , Era un matemático de muy alto intelecto abstracto e intuitivo. También afirma que todas las ecuaciones hermosas y elegantes fueron contadas por la Diosa Nammakal en sus sueños, lo cual es bastante interesante.
En ese momento, presentó la afirmación sin una prueba. Hubo varios intentos de probar lo mismo después de la aceptación de la importancia de las afirmaciones, mientras que el primer trabajo interesante (por lo que pude encontrar) llegó alrededor de la década de 1980. El siguiente es uno de los intentos de explicar el razonamiento de Ramanujan titulado “ Ramanujan’s Series for [math] \ frac {1} {\ pi} [/ math] : A Survey [1] “ , por Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt y Heng Huat Chang.
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“¿Cómo se le ocurrieron esos números no obvios?” . Nadie sabe. Solo sabemos que estaba muy por delante de otros matemáticos en la comprensión de las funciones elípticas, la función theta y las ecuaciones modulares de una manera intuitiva. Nadie sabe cómo llegó a números como 26390, 1103, etc. El enfoque moderno utiliza cálculos numéricos para el mismo. Aquí [2] puede encontrar alguna relación de los números mencionados anteriormente con las ecuaciones de Pell .
“¿La ecuación tiene alguna relación con el círculo o la función trigonométrica? Si no está relacionado, entonces, ¿de dónde proviene [math] \ pi [/ math] en esta fórmula? A primera vista, es posible que la serie no parezca tener ninguna relación con [math] \ pi [/ math] ninguna función trigonométrica, pero eso no es cierto. Todas las funciones trigonométricas, exponenciales, hiperbólicas, elípticas, etc. pueden escribirse en forma de series infinitas (expansiones de Taylor [3]). Esta serie en una de las muchas series de aproximación que dio para calcular [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Su teoría para [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] fue que podemos tener infinitas series de formas
[matemáticas] \ frac {1} {\ pi} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (a + bn) c ^ {n} [/ matemáticas]
y la forma mencionada en la pregunta es una de ellas.
“¿Tiene alguna prueba” . No pude encontrar ningún texto para una prueba válida, pero eso es una limitación de mi búsqueda, ya que he encontrado mención de sus pruebas en algunos artículos en línea, así como en el comentario sobre la pregunta de Arun Iyer (quien sugirió leer Pi y la AGM: Un estudio en teoría analítica de números y complejidad computacional: Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: 9780471315155: Amazon.com: Libros para encontrar la prueba). Volveré a publicar en la edición tan pronto como obtenga algo. Este A2A me ha dado algo para mantenerme ocupado, gracias a Aakash Arora.
Notas al pie
[1] CiteSeerX – Tipo de archivo desconocido
[2] Motivación para la misteriosa fórmula $ \ pi $ de Ramanujan
[3] Serie Taylor