Hay dos respuestas a sus preguntas según cómo exactamente se quiera interpretar el término «conjunto universal».
«Conjunto universal» como algo que contiene todos los conjuntos
En este caso, no existe un «conjunto universal» (porque contradeciría el teorema de Cantor). Y el «conjunto universal» es en realidad una clase adecuada.
«Conjunto universal» como algo que contiene todos los conjuntos que necesitamos para la tarea que se considera
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En este caso, es simplemente un conjunto lo suficientemente grande que contiene todo el conjunto que consideramos. Es, en realidad, uno de los conceptos más importantes. Aquí es por qué. Hay un llamado esquema de especificación Axiom que dice que si uno tiene un conjunto, uno puede construir su subconjunto bajo cualquier propiedad (o predicado) sintácticamente correcta. Esto es, en realidad, una modificación de un axioma de comprensión sin restricciones que establece que uno puede construir un conjunto bajo cualquier propiedad sintácticamente correcta.
Puede surgir una pregunta, por qué era tan importante restringir la construcción de conjuntos. Una respuesta simple es que uno puede construir una propiedad sintácticamente correcta (es decir, ser un conjunto que no se contiene a sí mismo como elemento) que da lugar a la paradoja de Russell. La comprensión restringida prohíbe tales construcciones.
Esto significa que un «conjunto universal» no puede ser verdaderamente universal y siempre debe haber algo que no esté incluido en él. Más importante aún, uno siempre debe tomar un conjunto tan universal, cuya existencia se puede probar. Los ejemplos más fáciles de conjuntos universales son conjuntos construibles como conjuntos de números naturales o conjuntos de fórmulas en algunos lenguajes formales.