¿Por qué las personas en la academia buscan pruebas rigurosas incluso si existe una prueba simple pero correcta?

Answer 1

En matemáticas y campos relacionados, hay dos razones principales:

• la prueba “simple” podría estar equivocada
• encontrar una prueba rigurosa nos enseñará algo nuevo

La intuición puede estar equivocada
La primera razón es importante porque, bueno, realmente no queremos estar equivocados . La mayoría de las ideas en matemáticas se basan tanto en otras ideas en matemáticas que, si no se cumple, los campos completos podrían caerse.

El problema con una prueba “simple” pero no rigurosa es que nuestra intuición puede estar completamente equivocada. El punto central detrás del rigor matemático —el punto completo detrás de todas las matemáticas quizás— es darnos una forma externa de verificar y desafiar nuestra intuición. Esto es más importante en algunas áreas que en otras (los humanos encuentran la probabilidad y el infinito increíblemente poco intuitivos) pero es relevante en todas partes. Simplemente no podemos confiar en la intuición por sí misma.

Aquí hay un ejemplo de una prueba incorrecta de [math] \ pi = 4 [/ math] que rebota en las redes sociales. La idea es que podamos tomar un cuadrado del perímetro 4 que delimite un círculo con diámetro 1, eliminar sus esquinas para obtener una forma que esté más cerca del círculo pero que aún tenga el mismo perímetro y repetir este proceso infinitamente para obtener un círculo.

Aquí hay una ilustración un poco memey que encontré en matemáticas. SE, originalmente de bestwtf. (Es mucho más fácil entender lo que está sucediendo si ve un diagrama).

Esta prueba es simple y clara y obviamente errónea . Sabemos esto porque sabemos que [matemáticas] \ pi \ ne 4 [/ matemáticas], pero si no lo supiéramos, ¿dónde estaríamos?

El error real aquí es bastante sutil (eche un vistazo al hilo matemático. SE para obtener una explicación) y la única forma en que podemos detectarlo es tratando de hacer el argumento riguroso. En términos más generales, la única forma en que podemos obtener una comprensión razonable de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] y cómo se relaciona con los círculos es a través de argumentos rigurosos.

Pruebas rigurosas nos enseñan más
La primera razón que mencioné es bastante fácil de apreciar para los no matemáticos. Quiero decir, podría tomar algunos ejemplos para ver cómo la intuición puede llevarnos por mal camino, pero es bastante obvio por qué no queremos estar equivocados. (A menos que te sumerjas demasiado en la metafísica o la filosofía continental, pero realmente no me importa).

Pero diría que esto no es lo principal que motiva a los matemáticos. Quiero decir, es importante , y los matemáticos valoran la corrección más que la mayoría de las personas, pero hay otras maneras de saber que estamos en lo correcto.

Hace poco fui a la proyección de un documental sobre la conjetura de Twin Primes. Después del espectáculo, hablé con un destacado teórico de los números y él tenía una visión interesante sobre conjeturas como esta: ya sabemos que son ciertas . Sabemos que estas conjeturas se mantienen tan bien como sabemos cualquier cosa fuera de las matemáticas, así como sabemos que el sol saldrá mañana. Hicimos simulaciones masivas, cantidades de datos que los físicos de partículas envidiarían, realizamos experimentos que serían inviables en cualquier ciencia física y estas conjeturas siempre han sido válidas.

Esa es una inmensa cantidad de evidencia que sería abrumadoramente convincente en cualquier otro contexto. Casi todo lo que aprendiste como hecho en la escuela fuera de la aritmética tiene, por necesidad, menos apoyo .

Un nivel matemático de rigor realmente no puede existir fuera de las matemáticas. En resumen, el hecho de que este nivel sea alcanzable en matemáticas no hace que otra evidencia sea menos convincente en un sentido absoluto.

Entonces, ¿por qué hacer todo lo posible para probar estas cosas que básicamente se conocen de todos modos?

La respuesta es que no nos importa la prueba solo para decirnos si la conjetura es cierta o no: nos importa una prueba rigurosa para arrojar luz sobre la estructura del problema . En este caso, una prueba nos ayudaría a comprender las estructuras de los números mismos . Aprenderemos algo fundamentalmente nuevo. Una prueba de alguna conjetura de larga data dependerá casi definitivamente de ideas fundamentalmente novedosas porque si no fuera así, alguien la habría encontrado por ahora¹. Esto, a su vez, conducirá a nuevas abstracciones, nuevas áreas de investigación y nuevos problemas para que los matemáticos resuelvan.

En gran medida, así es como progresan las matemáticas: las pruebas no proporcionan respuestas binarias a preguntas conocidas, sino que ayudan a construir una comprensión de la estructura de los objetos matemáticos y su comportamiento. Una prueba matemática es mucho más que una simple evidencia de su conclusión, hasta el punto de que realmente no nos importa en absoluto la conclusión.

Esto es un poco difícil de apreciar porque la “estructura” aquí es una idea confusa. Es difícil precisar exactamente lo que quiero decir cuando lo digo, y realmente, va a diferir de un campo a otro. Para tomar prestada la terminología de Rumsfeld, las conjeturas son incógnitas conocidas mientras nos preocupamos más por encontrar incógnitas desconocidas, que es lo que realmente hacen las pruebas rigurosas. Va a ser difícil explicar exactamente qué son estas incógnitas desconocidas, en ese momento serían simplemente incógnitas, pero se puede ver por qué serían interesantes e importantes.

notas al pie
¹ Bien, este poco de razonamiento es un poco sospechoso. Me recuerda el chiste sobre los economistas:

Dos economistas están caminando por el camino cuando uno ve un billete de $ 100 en el suelo. El otro se vuelve hacia él y le dice: “No te molestes en recoger eso. Si hubiera $ 100 en el suelo, alguien ya lo habría tomado”.

Al igual que existen oportunidades de arbitraje a pesar de que alguien ya debería haberlas arbitrado lejos, ocasionalmente encontraremos pruebas aburridas para resolver problemas. Pero generalmente este no será el caso y cuanto más famoso sea el problema, más probable es que una prueba sea interesante.

Answer 2

Por definición, una prueba tiene que ser rigurosa . Si hay una prueba simple, correcta y rigurosa, es probable que se use en literatura relevante, etc., en lugar de otra prueba más complicada, correcta y rigurosa. Aún así, la prueba más complicada podría ser preferible si muestra conexiones con otra rama de las matemáticas: tales pruebas proporcionan información e incentivo para buscar otras conexiones entre los campos.

También voy a responder lo que creo que significaba el OP: “¿Por qué las personas en la academia buscan pruebas rigurosas, incluso si existe una prueba no rigurosa simple pero correcta?” La prueba no rigurosa puede sustituirse por una prueba intuitiva, un salto de fe o algo así.

Entonces, la razón por la que exigimos rigor es que la intuición puede estar equivocada . Las matemáticas están llenas de resultados no intuitivos, diga “Los enteros son tantos como los números racionales” y “Podemos reorganizar los términos en la suma [matemáticas] \ sum_ {n \ geq 0} \ frac {(- 1) ^ n} {n} [/ math] y la nueva suma puede tener cualquier valor que elijamos “y así sucesivamente: consulte la pregunta ¿Cuáles son algunos de los resultados matemáticos más contraintuitivos? para mas ejemplos La intuición a menudo puede conducir a errores, por lo que necesitamos rigor para respaldarla. Una referencia a la intuición puede ser beneficiosa para la enseñanza, pero en tales casos ya tenemos una prueba rigurosa de que lo que enseñamos es correcto.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Si una prueba es verdaderamente “correcta”, hacerla “rigurosa” es solo un trabajo ocupado, y generalmente nadie se molestaría en hacerlo. De hecho, el criterio “real” para la corrección de una prueba no es tanto rigor completo, sino suficiente para convencer a los árbitros bien educados y practicados que leen y juzgan el documento de que la prueba es correcta.

Por supuesto, hay ejemplos notorios de pruebas “correctas” que resultan ser erróneas, como la “prueba” de Kempe de la conjetura de 4 colores en 1879. Pasó por los árbitros y tardó diez años después de su publicación. Alguien notó la falla. (aLab 3) La mayoría de las personas que nunca han visto la prueba de Kempe pierden la falla hoy. Es bastante sutil, pero de hecho es un gran agujero que no se puede coser fácilmente.

Y, claro, los matemáticos quieren estar “seguros” de las cosas. Es una ciencia exacta para la cual los experimentos sugieren teoremas, pero ningún experimento puede probar un teorema. Queremos pruebas. Y, la mayoría de los matemáticos prefieren las pruebas “correctas” a las pruebas pedagógicas no intuitivas y rigurosas. De hecho, si tuviera que generar una prueba axiomática larga y rigurosa de 50 páginas de un teorema por computadora, sin intuición o un plan que fuera claro, imagino que no hay matemático que “prefiera” esta prueba sobre una idea intuitiva correcta .

La razón, tal vez, de que se siente abrumado por el rigor sobre la corrección y la simplicidad, es que los principiantes rutinariamente no tienen idea de cómo corregir las pruebas correctas y sus nociones de “prueba” están tan lejos de ser “correctas” que un maestro se mantiene apretado rigor para forzarlos a la coherencia. Una vez que desarrolle una mejor idea de lo que está sucediendo, los estándares de rigor disminuyen. Cuando lo hacen, debes mantener la guardia alta para asegurarte de no haber pasado por alto alguna sutileza al ser descuidado o confiar en una afirmación o intuición no probada.

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Answer 4

Esta pregunta es muy extraña. Por definición, una prueba debe ser rigurosa. Desea que su prueba sea clara, lo más elegante posible (a veces esto no es posible, a veces las cosas no son simples) y correcta. No creo que ningún científico practicante en ciencias matemáticas que haga un trabajo activo acepte una “imagen como prueba” o un argumento ondulado como una buena prueba. Para eso sirve un “bosquejo de prueba”, pero está subrayado por una prueba real.

Permítanme enfatizar esto: no existe esta naturaleza disjunta para probar los teoremas como sugiere su pregunta. Una prueba correcta rigurosa puede ser realmente muy simple. Quiero decir, puedes señalar innumerables hermosos teoremas que muchos matemáticos adoran por su elegancia en el funcionamiento de sus pruebas.

Answer 5

Debido a que los matemáticos no tienen trabajo y crean estas pruebas largas y sin aliento para hacer que personas crédulos como usted crean que están haciendo un gran trabajo. Si escribieran solo pruebas cortas y simples, tienen miedo de que el mundo se dé cuenta de la simplicidad de lo que hacen y ya no los escuchen.

Pero más en serio, no lo hacen. Tienes la definición de “riguroso” equivocado.

Sea [math] f (x) [/ math] una función definida sobre números reales y [math] x_0 [/ math] es donde la función es máxima. Defino “máximo” a continuación.

Máximo : para cualquier número real [matemática] x [/ matemática], [matemática] f (x_0) [/ matemática] es mayor o igual que [matemática] f (x) [/ matemática].

O equivalente,

Máximo : [matemática] \ forall \ epsilon> 0 \ forall x \ in \ R \ left [| x-x_0 | <\ epsilon \ implica f (x) \ leq f (x_0) \ right] [/ math].

¿Qué definición es más rigurosa? Si elegiste el segundo, eres víctima de un pésimo sistema de educación matemática. Te engañaste al creer que el rigor se logra mediante signos integrales, derivadas parciales, operadores del y otra jerga para dar una declaración de complejidad indebida. Sin embargo, el rigor se logra a través de una lógica sólida y argumentos bien estructurados. Si bien las dos declaraciones anteriores describen lo mismo, la segunda es simplemente innecesariamente complicada.

Aquí está mi consejo para ti: Hazlo simple, pero sé minucioso. Eso es todo lo que cualquiera quiere. Si cree que tiene una prueba más simple de algo que el libro de texto puso “rigurosamente”, vea si su prueba es lógicamente sólida, vea por qué esas declaraciones adicionales en el libro de texto fueron necesarias.

Answer 6

Las declaraciones y argumentos de aspecto simple y obvio podrían ser defectuosos y lógicamente inconsistentes. Considere el ejemplo de la definición de un conjunto.

Antes de principios del siglo XX, en la teoría de conjuntos, la definición de un conjunto era la siguiente: “Un conjunto es una colección de objetos distintos”. Toda la teoría de Set se construyó sobre esta definición. A principios del siglo XX, el filósofo / matemático Bertrand Russell demostró que esta definición tenía una inconsistencia lógica.

Piénselo, esta declaración en inglés ” Un conjunto es una colección de objetos distintos ” de alguna manera tiene una inconsistencia lógica incorporada. Veamos cómo.

Dado que un conjunto se define como una colección de objetos distintos, podemos tener un conjunto que se contiene a sí mismo como miembro

Por ejemplo, A es un conjunto de la siguiente manera
A = {naranja, tierra, caracol, tren, A}

Según la definición, A es un conjunto válido.

Ahora definamos otro término llamado ‘ Conjunto bueno ‘ como cualquier conjunto que no se contiene a sí mismo como miembro y, en consecuencia, un ‘ Conjunto malo ‘ es un conjunto que se contiene a sí mismo como miembro. Ahora cualquier conjunto puede contenerse o no contenerse, no hay término medio, es decir, dado un conjunto, podemos y deberíamos poder clasificarlo como un conjunto bueno o un conjunto malo.

Hasta ahora todo bien, ahora considera un conjunto G que es un conjunto de todos los buenos conjuntos

G = {Conjunto de todos los conjuntos buenos}
¿Es este conjunto G, un conjunto bueno o un conjunto malo ..?

Caso 1: G es un buen conjunto

Supongamos que G es un buen conjunto, es decir, G no se contiene a sí mismo, pero dado que definimos a G como un conjunto de todos los buenos conjuntos y si G es un buen conjunto, entonces debe contener G, lo que contradice nuestra suposición de que G es un buen conjunto, por lo tanto, G no puede ser un buen conjunto.

Caso 2: G es un mal conjunto

Supongamos que G es un conjunto incorrecto, es decir, G se contiene a sí mismo, pero dado que definimos a G como un conjunto de todos los conjuntos buenos, si G es un conjunto incorrecto, entonces no puede estar presente en G, por lo tanto, G no puede ser un conjunto incorrecto.

Por lo tanto, G no puede ser un buen conjunto ni un mal conjunto, lo que nuevamente contradice el hecho de que un conjunto puede clasificarse como un buen conjunto o un conjunto malo. Puede llegar a la misma conclusión si considera que G es el conjunto de todos los conjuntos malos.

Todas estas contradicciones provienen de nuestra definición de conjunto inocuo, en otras palabras, ciertas colecciones de objetos no se pueden llamar conjuntos.

Como puede ver, una declaración aparentemente simple ” Un conjunto es una colección de objetos distintos ” puede ser lógicamente inconsistente. ¿Cómo sabemos que todo el conocimiento matemático que hemos construido utilizando axiomas aparentemente obvios es correcto y no alberga errores en ellos …? Ser riguroso nos ayuda a prevenir este tipo de falacias.

Answer 7

Porque ha habido casos en que una prueba “simple y correcta” no era una prueba en absoluto, o no podía ampliarse a lo que otras personas considerarían una prueba correcta (simple o no).

Un caso particularmente famoso fue cuando un tipo llamado Pierre de Fermat dejó una nota en el margen de un libro indicando un resultado, para el cual una prueba era demasiado larga para caber en el margen (pero no lo suficientemente difícil como para molestarse en escribir en otro lugar). Para probar este resultado, conocido hoy como el último teorema de Fermat, los matemáticos más brillantes trabajaron durante cientos de años hasta que Andrew Wiles lo descubrió. Desafortunadamente, su primer intento tuvo una brecha, que tardó dos años en solucionar. Además, Wiles se basó en una gran cantidad de trabajo previo: no probó el resultado desde cero. Dada la cantidad de atención que ha atraído este desafío, las posibilidades de que exista una prueba “simple y correcta” son pésimas.

Answer 8

Intente calificar la tarea para una clase de escritura de prueba de introducción en algún momento. Te sorprenderá lo que la gente piensa que es “simple pero correcto”.

Como antiguo alumno, una de mis frases favoritas para ver en la tarea era “Claramente, [tal y tal]”, o cualquiera de sus equivalentes. Sería un hombre rico si tuviera un dólar por cada vez que (justificadamente) escribiera: “Puede ser claro, pero no es cierto”.

Answer 9

La suposición subyacente en la pregunta parece ser que una prueba simple es la correcta, pero a menudo es la simplicidad lo que es engañoso. Un ejemplo básico sería la visión instintiva del universo como geocéntrico, ya que la simple observación parece indicar que esto es así, y el sol y la luna giran alrededor de nuestro planeta. No estar satisfecho con esta explicación es lo que llevó a los científicos a la verdad del asunto. Además, como han mencionado otros, no solo es importante la solución, sino que el proceso real de encontrar la solución es de suma importancia para el desarrollo de nuestra capacidad cognitiva como especie.

Answer 10

De ninguna manera soy miembro de la academia, pero creo que sé la respuesta (porque mis profesores siempre me han explicado por qué me exigen pruebas rigurosas).

Porque cuando demuestra algo de manera rigurosa, sería mucho más fácil verificar si su prueba es correcta, ya que una prueba rigurosa no es ambigua.

Hay una anécdota sin savia que cubre el tema de las pruebas rigurosas e intuitivas:

Dos matemáticos están caminando por la calle:

1 .: Me ha sucedido un desastre: mi criada había tirado mi prueba de 30 páginas y no sé cómo recuperarla.

2 .: No te molestes con eso: escribe: «uno puede ver fácilmente que …»

En otras palabras: cada prueba “intuitiva” es en realidad una prueba rigurosa presionada en un par de frases.

Answer 11

Voy a estar un poco en desacuerdo con muchos de los otros respondedores aquí. No están equivocados, pero sus respuestas le dan la impresión de que aquellos en campos académicos rigurosos no aceptarán cosas a menos que estén rigurosamente probados, y que nunca sepamos algo a menos que alguien se haya tomado el tiempo de escribir una prueba exhaustiva.

Puede argumentar esto filosóficamente *, pero como cuestión práctica, los académicos trabajan con teoremas verdaderos pero no probados. Incluso hay una frase para ellos: se los conoce como teoremas populares .

El más famoso es el de la teoría de juegos. Los matemáticos se burlarían con buen humor de los economistas por tener solo este teorema popular, comparándolo desfavorablemente con las matemáticas, donde eran mucho más numerosas.

* No estaría de acuerdo con esta posición, pero es defendible.

Answer 12

Te refieres a “personas en matemáticas”. Esencialmente en todos los demás campos, académicos o no, la prueba es simplemente evidencia suficiente, o un argumento, para la verdad de una proposición, vea el artículo de Wikipedia “Prueba (verdad)”.

Answer 13

En matemáticas, “correcto” y “riguroso” son sinónimos.

No existe tal cosa como “correcto pero corta algunas esquinas”.

Entonces, tomado literalmente. la pregunta es básicamente nula; pero obviamente querías decir “por qué esta prueba no es lo suficientemente buena para la gente en la academia” … y otros ya han respondido exhaustivamente.

Olvidé quién inventó la frase “¡Para cada pregunta, hay una explicación que es simple, elegante e incorrecta”!

Answer 14

Si tiene una prueba simple de un resultado y la prueba es correcta, entonces esa es una buena prueba. Si es ondulado a mano, y simplemente no tiene ganas de hacer el trabajo de hacerlo riguroso, ¿cómo podemos confiar en que sea realmente cierto? Dicho esto, cuando intentas probar un resultado, generalmente comienzas con un vago movimiento de la mano e intuición para tratar de descubrir por qué el resultado es verdadero, y una vez que tienes una idea, la agudizas en una prueba. Si se pregunta por qué los matemáticos prueban las cosas en lugar de confiar en nuestro instinto y seguir adelante, las matemáticas superiores no progresarían mucho con esa perspectiva.

Answer 15

Su pregunta se basa en una premisa incorrecta.

Me encanta una prueba simple y correcta, pero, por supuesto, una prueba es rigurosa.

Estás confundiendo riguroso con innecesariamente difícil.