¿El propósito de las matemáticas ya no está dirigido a retratar con precisión la realidad?

Answer 1

Me gustaría proporcionar una traducción aproximada del siguiente artículo vietnamita, que creo que aborda este tema de manera brillante. (Solo mencionaré los puntos clave en lugar de traducir palabra por palabra. ¡Cualquier sugerencia de edición es bienvenida!)

http://tiasang.com.vn/-giao-duc/…

Haciendo matematicas

Una vez vivió un hombre que aprendió a matar dragones y dio todo lo que poseía para dominar el arte. Después de tres años estaba completamente preparado pero, por desgracia, no encontró la oportunidad de practicar sus habilidades. – Zhuan Zhi.

Como resultado, comenzó a enseñar cómo matar dragones. – R. Thom.

René Thom, un matemático francés y medallista de Fields, compara hacer matemáticas con cazar dragones. Pero espera, ¿por qué necesitamos cazadores de dragones si no hay dragones? ¡Resulta que la caza de dragones todavía puede ser útil sin dragones! Mira, un dragón tiene el cuerpo de un cocodrilo, las garras de un tigre, la cabeza de un león, pero ni siquiera puede derrotar a un cazador de dragones, y mucho menos tigres, leopardos, serpientes, elefantes, o cualquier combinación de ellos. Por lo tanto, si quieres ir a cazar, ¡solo aprende a cazar dragones!

Desde cocodrilos, tigres, leones, …, la gente inventa el concepto abstracto de dragón. Del mismo modo, desde la realidad, las personas inventan los conceptos abstractos de las matemáticas.

Sin embargo, cuando algo se ha vuelto abstracto, devolverlo a la realidad no es tarea fácil. La gente incluso duda si puede volver a la realidad.

Alguien (a quien llamamos A) le preguntó a Thom:

R: ¿Por qué las personas de matemáticas inventan cosas como ecuaciones, diferenciación, derivación, bla, bla? ¡No son reales! ¿No son solo tus juegos mentales?

Thom: Bueno, si pierdes tu anillo en un almacén oscuro y desordenado y no tienes una antorcha, ¿cómo lo encuentras?

A: ¿No simplemente va por el almacén y lo busca?

Thom: Si fuera tú, iría a algún lugar con una luz y comenzaría a buscar.

A: Eso es ridículo. Ya sabes que el anillo está en un rincón oscuro del almacén, ¿por qué vas a otro lado?

Bueno, eso en realidad no es tan ridículo. Encontraré algo como un anillo, estaré debajo de la luz y lo dejaré caer. Por supuesto que puedo recogerlo más tarde, porque es muy brillante a mi alrededor. Pero si sigo soltándolo diez veces, veinte veces, cien veces, … puedo encontrar un patrón : en general, ¿en qué dirección se dirige el anillo cuando se cae? Y luego, cuando regreso al almacén oscuro, puedo buscar en esa dirección. Y puedo repetir el mismo procedimiento con cualquier tipo de anillo en cualquier almacén.

Las teorías matemáticas son como la luz en el ejemplo anterior. Solo con él podemos “hacer matemáticas”, o en otras palabras, encontrar los patrones. Para acercarnos a la realidad, primero debemos alejarnos de ella, para que nuestra visión no se vea borrosa por su trivialidad e irregularidad.

[Una analogía en la que puedo pensar: si me paro en el suelo y miro a mi alrededor, todo lo que veo es una superficie plana. Entonces, naturalmente, pienso: oh, el mundo debe ser plano. Solo cuando miro las imágenes de la Tierra en el espacio, tomadas por astronautas que han viajado cientos de miles de millas de ella, puedo darme cuenta de que en realidad es redonda. ]

El uso de las matemáticas.

A los matemáticos generalmente se les pregunta: “¿Cómo es útil su teoría?” Y no siempre hay una respuesta. Si en la edad de Apolonio la gente le preguntaba para qué servían las cónicas, no podía responder esa pregunta. Él solo investigó sobre ellos porque son hermosos. E incluso después de docenas de siglos, nadie pudo responder tampoco. ¡Hasta la edad de Kepler y Newton no descubrimos que Apolonio estaba jugando con los movimientos orbitales del planeta! Gracias a su temprana obsesión con las cónicas, Kepler tenía dudas sobre las conjeturas de sus predecesores sobre las órbitas circulares, y se le ocurrió su propia conjetura de que las órbitas son en realidad elipses cuyos focos están muy cerca el uno del otro. Más tarde fue demostrado por Newton, y la “belleza” de Apolonio, al no tener ningún sentido práctico, encontró su uso en uno de los mayores descubrimientos de la humanidad.

Thom también reclamó

quand on sait òu va, on va pas lomo

que se puede traducir más o menos como: “Si sabes a dónde quieres ir, realmente no puedes ir lejos”. De hecho, si quieres un tazón de arroz para mañana, no te concentres solo en él, o terminarás con un tazón de arroz todos los días y nada más.

Aún así, si las teorías matemáticas tardan 2000 años en ser útiles, ¿realmente vale la pena invertir en ellas?

No exactamente. No importa qué tan lejos mires, no puedes mirar hacia adelante 2000 años.

Pero las matemáticas vuelven a la realidad de diferentes maneras. A veces lleva 2000 años, a veces solo unos pocos años, ¡o incluso dos meses! Tomemos, por ejemplo, la criptografía de curva elíptica o RSA. Su viaje desde un trabajo de investigación matemática a los teléfonos inteligentes y las tarjetas de crédito no toma casi nada de tiempo.

Las personas usan teléfonos inteligentes para hablar de todo, incluso a veces la inutilidad de las matemáticas. Las personas usan tarjetas de crédito para la mayoría de sus transacciones. Pero estas comodidades no existirían si no fuera por la criptografía de clave pública y las matemáticas. Sin embargo, ¿por qué la gente todavía es reacia a invertir en matemáticas? La razón es que cuando usamos nuestros teléfonos inteligentes o tarjetas de crédito, no vemos “ecuaciones, diferenciaciones, derivaciones” en ellas. En otras palabras, las matemáticas se han vuelto “transparentes” para nosotros (de hecho, solo cuando es transparente puede llegar a todos).

Sin embargo, resulta que esta transparencia es incluso un obstáculo mayor que una montaña.

En 1674, John Mayow encontró en la atmósfera una sustancia gaseosa esencial para la vida. En 1773 Carl Wilhelm Scheele se convirtió en el primero en aislarlo con éxito. El mismo experimento fue repetido por Antoine Lavoisier, quien decidió llamar a este gas “oxígeno”. Por lo tanto, el oxígeno fue “descubierto” en realidad últimamente, a pesar de que ha estado allí desde antes de que existiéramos.

¿Por qué? Porque es transparente. Las personas no se daban cuenta de que lo necesitaban y no estaban dispuestas a pagarlo.

Hasta que esto sucedió:

La startup canadiense vende aire embotellado a China

El ambiente en Beijing ya no es transparente. La gente se ve obligada a verla, obligada a celebrar reuniones en Río de Janeiro, en Kioto, en París, … para encontrar maneras de volverla transparente. ¡Ojalá nos diéramos cuenta de la importancia de la transparencia mientras todavía estaba allí!

Answer 2

Si no ve esto, simplemente ignora gran parte de la física. Por ejemplo, la teoría de Seiberg-Witten, TQFT, incluso Moonshine hasta cierto punto. Ahora se podría argumentar que estas teorías son firmemente teóricas y no reflejan realmente alguna física descriptiva que busca describir fenómenos en el mundo. Claro, pero en algún momento tampoco estaba claro si la definición de un espacio de Hilbert tendría aplicaciones concretas, y sin embargo lo tiene: es el dominio en el que se realiza la mecánica cuántica.

Estos conceptos abstractos no se crean solo por diversión (aunque es muy divertido pensar en ellos), los matemáticos crean estos conceptos para describir, con mayor detalle, los fenómenos que ocurren en los objetos matemáticos, y originalmente los crearon para describir patrones en pensamiento, geometría, números y movimiento. El uso de estos objetos nos permite formalizar nuestras nociones de espacio y movimiento para obtener resultados útiles de ellos. Si un físico teórico, ocupado pensando en un problema, se encuentra atrapado con una intuición sobre algo que debería suceder, pero sin los medios para demostrarlo de manera concluyente, a menudo se requerirá un matemático.

Además, nunca se sabe qué conceptos serán necesarios. Supongo que habría descartado el concepto de un sistema de Hitchin como el mismo tipo de abstracción sin sentido, y sin embargo, este concepto fue desarrollado por un físico para responder preguntas físicas reales, luego fue reapropiado por un matemático para probar un resultado esencial en el Programa Langlands. Luego, Ed Witten demostró que partes del programa Langlands se habían presentado de forma independiente en su investigación de la teoría de cuerdas.

Si no quitas nada más de esto excepto estas últimas líneas, entonces déjalas ser estas. La comunidad matemática es un mundo rico de ideas en sí mismo, independientemente de lo que contribuya a la física, pero el límite entre los dos campos es mucho más poroso de lo que puedes imaginar, y los investigadores en ambos campos inspiran a los que están en él. Todos nos beneficiamos enormemente de esta interacción continua.

Answer 3

Las matemáticas nunca se trataron de modelar con precisión la realidad.

Las matemáticas son el estudio de la estructura, los patrones y la lógica a un nivel muy fundamental y esotérico.

Claro, la física usa herramientas matemáticas para estudiar el mundo real, pero esto de ninguna manera representa una carga para las matemáticas para producir cosas útiles.

De alguna manera, esa es la belleza de las matemáticas: es una verdad necesaria, trasciende esta insignificante realidad. En algunos aspectos, las verdades y el conocimiento representados dentro de las matemáticas existen fuera de la realidad, porque no dependen de la realidad para ser verdad.

Sin embargo, la física no es lo mismo: la física depende de la realidad para atribuir su verdad; es posible imaginar un mundo con diferentes leyes de la física, pero no uno donde el mundo de las matemáticas sea diferente, simplemente por la forma en que se definen las matemáticas.

Utilicé esta cita una vez sobre matemáticas en quora, y creo que es bastante apropiado aquí:

Los matemáticos sueñan con mundos que podrían ser, para permitir a los físicos estudiar el mundo que es

Las matemáticas son mucho más fundamentales que la realidad misma, ¿y crees que es algo malo ? Si reináramos en matemáticos perderíamos la mitad de los desarrollos interesantes en matemáticas, y por lo tanto perderíamos cosas que luego resultaron útiles en física.

Deje que los matemáticos sueñen, no los limiten con la realidad, y producen verdadera belleza.

Answer 4

¿El propósito de las matemáticas ya no está dirigido a retratar con precisión la realidad?

Si el propósito de las matemáticas es retratar algo, entonces es hacer un autorretrato. El objeto de las matemáticas son las estructuras matemáticas. Si algunos de ellos se aplican a la realidad, está bien, pero ¿por qué limitarse a la realidad? La física y otras ciencias naturales se ocupan de la realidad, las matemáticas se ocupan de todas las estructuras matemáticas.

Dicho esto, los matemáticos normalmente trabajan en problemas que se consideran importantes. Este problema es importante porque ayuda a aclararlo, que a su vez tiene aplicaciones para otro problema, y ​​así sucesivamente. Y eventualmente hay una conexión con la realidad, no siempre sencilla. De hecho, los matemáticos proporcionan herramientas, para otros matemáticos, que proporcionan herramientas para otros matemáticos, que proporcionan herramientas para físicos y otros científicos. Las matemáticas pueden ser abstractas, pero este no es un criterio para desconectarse de la realidad. La mayoría de las partes abstractas de las matemáticas aún tienen aplicaciones directas a la física, la economía, la informática, etc. Tomemos la física, que retrata la realidad física. ¿No son ya muy abstractos los espacios de Hilbert, los grupos de Lie y las álgebras y sus representaciones, hiladores, geometría diferencial? Sin embargo, describen las partes más fundamentales de la realidad. Cuando se trabaja en un problema de física, ningún físico debe tener miedo de sumergirse en el mundo abstracto de las matemáticas, con el argumento de que es demasiado abstracto como para tener algo que ver con la realidad. La realidad misma ya es demasiado abstracta para nuestra intuición, y la única forma de entenderla es mediante las matemáticas, que es la mejor herramienta para tratar conceptos abstractos y contraintuitivos.

Answer 5

Respetuosamente estoy en desacuerdo con otros que afirman que las matemáticas nunca han tenido como objetivo retratar con precisión la realidad. A diferencia de la visión de las matemáticas de hoy, en la antigüedad no existía una distinción clara entre las matemáticas y las matemáticas aplicadas a la realidad. En griego, la geometría es literalmente ‘medición de la tierra’ y se entendió como un modelo de realidad. Ptolomeo consideraba que las matemáticas incluían el estudio de los movimientos de los planetas y otros objetos celestes. Incluso en los tiempos modernos la distinción no es tan clara, con Newton desarrollando cálculos con el propósito de describir el mundo natural.

La concepción de las matemáticas como completamente separada de cualquier vínculo con la realidad física es un desarrollo relativamente reciente. Si bien parece estar moviéndose en esa dirección, todavía no se ha cortado por completo. Al menos no en la medida en que la disciplina de las matemáticas todavía incluye las matemáticas aplicadas y la física matemática como subdisciplinas.

Sin embargo, la matemática pura se considera puramente formal, abstraída de cualquier conexión con la realidad física. Sin embargo, en la medida en que cualquier tipo de realidad sea comprensible, siempre que se represente con rigor y precisión, las matemáticas lo describirán. Entonces, uno podría decir que el propósito de las matemáticas, incluso las matemáticas puras, es explorar y describir todas las realidades posibles.

Answer 6

Realmente depende de cómo entiendas los conceptos matemáticos y tu percepción de lo que se supone que representa.

La matemática es una herramienta muy compleja con un alcance de estudio cada vez mayor. No se pueden aislar las matemáticas altamente abstractas que se encuentran en gran medida a distancia de las aplicaciones físicas con otras formas, como las matemáticas aplicadas. Otras matemáticas son solo una continuación física de métodos matemáticos especializados utilizados en la ciencia, un campo muy diseñado para servir a la representación precisa de la realidad.

El brillante físico Sr. Feynman dijo una vez: “Los matemáticos se enorgullecen de ser inútiles”. Les encanta hacer cosas sin aplicaciones prácticas inmediatas, se expanden y generalizan por el bien de esto y esto tiene un mérito propio. El rigor matemático en sí mismo es lo que lo hace tan confiable después de todo. Pero en la misma conferencia, también menciona cómo los físicos a menudo recurrirán a los matemáticos sobre modelos previamente descartados que parecían prácticamente inaplicables como las dimensiones superiores del espacio.

En realidad, nadie puede predecir con precisión qué campo de las matemáticas será relevante en el futuro, con áreas que anteriormente se consideraban muy abstractas y que ahora son factibles como modelos matemáticos para los físicos. Quiero decir, ¿quién habría pensado en los días de Euler que los números complejos eran tan importantes en la naturaleza? Ni siquiera se manifiestan físicamente en ninguna parte como números únicos.

Con todo, se podría decir que gran parte de las matemáticas no apuntan a representar la realidad, sino a adherirse a modelos matemáticos altamente expandidos. Pero también podría argumentar que cualquier matemática podría resultar útil en el futuro para comprender y expandir la ciencia y, por lo tanto, retratar los fenómenos naturales. Y para ese avance en matemáticas es fundamental en el avance en cualquier otro campo que sea más directo en su búsqueda de explicar la naturaleza.

Answer 7

Hay más en la realidad que la realidad que estudian los físicos. Existe la realidad que estudian los economistas, la realidad que crean los artistas, la realidad que estudian los psicólogos, la realidad que contemplan los filósofos, la realidad que crean los informáticos y muchas más realidades, incluidas las realidades que los matemáticos estudian y crean. Todas esas realidades han sido extraídas tanto por practicantes de esos campos como por matemáticos, a veces de manera conjunta.

No hay un límite definido entre las matemáticas puras y aplicadas. Ellos interactúan Algunos teoremas que comienzan en matemática pura terminan con aplicaciones imprevistas. Por otro lado, las aplicaciones son una fuente de nuevas matemáticas puras.

Es cierto que gran parte de las matemáticas antiguas estaban estrechamente relacionadas con la realidad física. La geometría euclidiana era una abstracción del espacio físico. Las ecuaciones diferenciales fueron modelos de sistemas físicos. Las generalizaciones más recientes de la geometría con dimensiones ilimitadas tienen aplicaciones no solo para la física, sino también para la economía y los negocios, y para las estadísticas y a través de las estadísticas hay aplicaciones para todas las ciencias naturales y sociales. Las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones diferenciales parciales han abierto nuevas áreas de la ciencia.

La abstracción es una herramienta poderosa. Sin ella, la ciencia estaría paralizada.

Answer 8

Hay tantos propósitos para las matemáticas como matemáticos, y algunas investigaciones matemáticas se centran en describir aspectos del mundo real, aunque esos aspectos son un campo mucho más amplio de lo que puedas imaginar, que abarca desde varios campos de la mecánica cuántica, mecánica clásica, teoría cuántica de campos, hidrodinámica, meteorología, etc., hasta matemáticas financieras, bioestadística, química, investigación de operaciones, algoritmos, etc. cada uno de estos campos está lleno de problemas que actualmente son insolubles. Muy a menudo, en el centro de estos problemas se esconden estructuras complejas y abstractas cuya explicación nos ayuda a comprender cómo dar el siguiente paso para resolver estos problemas difíciles. Por ejemplo, muchas de las EDO solubles que conocemos parecen tener una estructura grupal de alta dimensión extraña. Un problema de física que estudié también tenía una estructura de grupo cuántico en su centro, que traté de usar para obtener una solución. Algunas PDE tienen interpretaciones geométricas que conducen a relaciones de invariancia. El estudio de estructuras geométricas con métricas no positivas, geometrías de Minskowki, condujo directamente a la relatividad especial. Recientemente, surgieron nuevos algoritmos para la optimización que hacen uso de conceptos abstractos como los conos (este es el campo de mi amigo, ni el mío, puedo encontrar la descripción correcta si tiene curiosidad). Un ejemplo famoso es un teorema abstruso en geometría diferencial publicado por un matemático ruso que condujo directamente al descubrimiento de la tecnología sigilosa en aviones de combate. Los estudios de topología han llevado a una mejor comprensión de la estructura de los espacios de solución para PDEs, y a mejoras en los métodos de aproximación para estas ecuaciones.

Entonces, aunque parece inútil tener matemáticos deambulando entre las esferas celestes, en realidad ha funcionado bastante bien para ingenieros y científicos.

Además, las estructuras que los matemáticos han descubierto son extraordinarias en sí mismas. Entonces, si bien los gobiernos han financiado las matemáticas en gran medida en los últimos 70 años con fines utilitarios, los descubrimientos recientes en matemáticas se destacan por sí mismos como algunos de los mayores logros intelectuales en la historia humana, y bien valen el modesto precio pagado por ellos sin ninguna compensación por aplicación práctica. Al igual que la poesía o la música. Solo mejor.

Answer 9

La matemática es una asignatura independiente. No se limita a ayudar a los físicos, al igual que los físicos no se limitan a ayudar a los químicos o biólogos.

Las matemáticas comenzaron describiendo la realidad, no solo geometría sino álgebra, trigonometría, geometría analítica, cálculo y teoría de la probabilidad.

Pero desde al menos el siglo XIX, las matemáticas no se han limitado a describir la realidad observada previamente . Hago hincapié en “observado previamente”, ya que las teorías matemáticas abstractas desarrolladas previamente siguen siendo la forma correcta de describir aspectos de la realidad recién descubiertos. Vea otras respuestas a esta pregunta y busque comentarios de Einstein.

Y algunas partes de las matemáticas todavía se ocupan de describir, comprender y tratar con la realidad, por ejemplo, pruebas estadísticas.

tl; dr: las matemáticas son independientes pero están conectadas. Y las conexiones van de lo obvio a lo sutil a lo sorprendente a lo sorprendente, y de nuevo a ninguna.

Answer 10

Parece que necesita leer el ensayo clásico del físico Eugene Wigner La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales:

https://www.dartmouth.edu/~matc/ …

Wigner señala algo que probablemente haya asombrado a casi todos los físicos que trabajan en un momento u otro. Esa matemática abstracta, incluso del tipo que parece no tener conexión con el mundo físico, a menudo termina siendo extremadamente importante para la física y parece estar profundamente arraigada en el universo en el que vivimos.

Nadie parece ser capaz de predecir con certeza qué ideas matemáticas abstractas terminarán siendo importantes, pero una y otra vez, las cosas que los matemáticos soñaron puramente porque pensaban que eran interesantes o hermosas o ricas por derecho propio, terminan describiendo alguna parte de nuestro mundo físico en detalles precisos.

Solo por nombrar un par de grandes ejemplos, ¿qué hay de los números imaginarios? ¿Quién hubiera pensado que eran un ingrediente esencial en los fundamentos de la mecánica cuántica? ¿Qué tal la geometría no euclidiana? Parecía una pérdida de tiempo y completamente patológico cuando se inventó por primera vez, pero ahora sabemos que describe la geometría real de nuestro universo mejor que la geometría euclidiana. ¿Qué tal grupos de mentiras o álgebras de Grassmann o cohomología u otras partes de la topología? Todo importante para la física, pero ¿quién lo habría adivinado?

Como muchas otras respuestas han señalado, la idea de las matemáticas como un fin en sí misma no es particularmente nueva, y es un error pensar que el propósito de las matemáticas es describir el mundo físico (su propósito es estudiar patrones abstractos). Sin embargo, lo sorprendente es que * termina * haciendo un buen trabajo al respecto, y de ninguna manera es fácil de predecir.

Answer 11

Las matemáticas nunca se han tratado de ayudar a los físicos; de hecho, el mismo pensamiento enfurecería a la mayoría de los matemáticos que he conocido. Su imagen de los matemáticos como “herramientas de la física” es tan atractiva (incluso para este físico) como una que describe a los esclavos humanos como “herramientas de la agricultura”. La física teórica ocasionalmente proporciona alguna novedad útil para las matemáticas, y por supuesto el “lenguaje” de los físicos es principalmente el de las matemáticas, pero las disciplinas son tan distintas como la filosofía y la poesía. (Lo cual no es una mala analogía, si puedo decirlo yo mismo 🙂

Por cierto, si realmente no ves cómo los “conceptos abstractos” pueden ayudarte a “retratar la realidad”, entonces tampoco has aprendido mucho sobre física.

Answer 12

Las matemáticas nunca han tenido como objetivo retratar con precisión la realidad. Sí toma una señal de la realidad; pero más tarde, está construido por la imaginación, similar a la mayoría de las formas de arte.

Hubo un tiempo en que una pintura se consideraba genial si era casi indistinguible de una fotografía real. Pero hoy, la pintura se trata de construir sobre la realidad ejercitando la imaginación, no retratando la realidad tal como es. Lo mismo ocurre con la música: a menudo, los ‘sonidos’ más elementales se obtienen de fuentes naturales: un río que fluye o sopla el viento, etc. Sin embargo, estos sonidos se modifican en gran medida por la creatividad de las personas.

Como mencionas, una característica distintiva de las matemáticas es que muchos conceptos aparentemente inútiles de alguna manera se vuelven muy útiles en física en una fecha posterior. Creo que esto se debe a que las matemáticas dan forma al pensamiento de los físicos y, por lo tanto, formularán la física utilizando herramientas que conocen muy bien.

Answer 13

La pregunta es “¿El objetivo de las matemáticas ya no está dirigido a retratar con precisión la realidad?”

Quizás una formulación ligeramente mejor de la pregunta es “¿Es la función de las matemáticas la representación del mundo real?”

Respuesta : en sus orígenes, las matemáticas eran el lenguaje de ciertos aspectos regulares del mundo (por ejemplo, tener simetría) (por ejemplo, contar, tamaño y forma) tal como el lenguaje ordinario era sobre el mundo, todos sus aspectos conocidos (comúnmente), incluidos muchos aspectos no tan fácilmente regularizable. Pero los aspectos matemáticos se prestaron a la sistematización, por ejemplo, como en la Geometría de Euclides. Con el tiempo sucedieron varias cosas. Al volverse sistemáticas (axiomatizadas), las disciplinas se prestaban a un estudio preciso y, por lo tanto, a la fiabilidad. Eso fue algo bueno. También se volvieron abstractos y simbólicos y se divorciaron de la realidad concreta inmediata. Esto puede parecer indeseable, pero en realidad es bueno porque un sistema axiomático separado de sus orígenes concretos puede ser aplicable a muchos sistemas concretos que poseen la misma estructura formal (y, por supuesto, esto es lo que sucedió). Pero ahora que las estructuras formales se hicieron claramente visibles, también se convirtieron en objetos de interés y estudio. Las estructuras formales proliferaron, su complejidad y belleza los hicieron de interés intrínseco y esto también mostró interrelaciones (morfismos) entre diferentes estructuras. Pero esto también es útil. No todas las estructuras formales encuentran aplicación inmediata; quizás algunas estructuras formales nunca encontrarán aplicación; pero muchas estructuras encuentran aplicación. Y es importante que mientras se persiguen algunas matemáticas para su aplicación potencial, en general no sabemos qué desarrollos matemáticos encontrarán aplicación o cuándo. Por lo tanto, hay al menos dos razones para seguir las matemáticas puras: la belleza y la estructura intrínsecas, y el potencial de aplicación y, creo, que ambas razones se consideran cuando la sociedad “decide” cómo financiar la investigación y la educación matemática.

Una conclusión : las matemáticas han evolucionado a una etapa en la que no se trata de una realidad concreta. Esto lo hace a la vez interesante y hermoso en sí mismo y presta sistemas matemáticos a la aplicabilidad ‘universal’ en lugar de una aplicación concreta única. ¿Las matemáticas están destinadas a retratar la realidad? No de la forma en que se hace hoy. Pero eso es en parte por qué a menudo es tan efectivo para retratar la realidad.

Algunas observaciones finales : no todas las matemáticas, incluso hoy en día, se originan a partir del estudio de las matemáticas como un sistema puro (esto va más allá del punto en que la intuición es inmensamente importante en el desarrollo de sistemas y pruebas axiomáticas, aunque la intuición no lo sea). formalmente presente en sistemas formales y pruebas). Un ejemplo es que la investigación en la teoría de cuerdas está dando lugar a desarrollos en matemáticas.

Otra observación se refiere a la cuestión de la naturaleza de la “realidad matemática”. Existe una opinión, no sostenida universalmente, de que los sistemas matemáticos abstractos de hecho se refieren a una realidad ideal o platónica. He escrito sobre esto en otras respuestas; ver, por ejemplo, la respuesta de Anil Mitra a las Matemáticas: ¿Se encuentran las matrices en la naturaleza o son una idea hecha por el hombre? Esa discusión analiza los puntos de vista platónicos y algunos otros sobre la naturaleza de las matemáticas.

Gracias por pedirme que responda esta pregunta.

Answer 14

A2A. Creo que la mejor respuesta la dio David Eliezer a continuación. La declaración clave fue: “Hay tantos propósitos para las matemáticas como matemáticos”.

Es cierto que gran parte de los matemáticos modernos han comenzado a enorgullecerse de cuánto estudian el tema por sí mismos. Esta opinión ciertamente se ha vuelto muy popular recientemente, pero no es nueva; de lo contrario no hablaríamos de “formas platónicas”.

Entonces, mientras observa algo real, no es realmente nuevo. Y personalmente no me preocupo por eso, porque tenemos todo tipo de matemáticos prácticos capaces de aprovechar su trabajo cuando lo necesitan. Esto tiende a transmitirse a los físicos teóricos, quienes a su vez lo usan para predecir los resultados de los experimentos, que eventualmente se convierten en tecnología. No es * tan * caro y ha tenido algunos resultados espectaculares.

Answer 15

A menudo, nadie ve la aplicabilidad de algunos conceptos matemáticos a la física durante muchos años:

• Números complejos: por cierto, abre la puerta de entrada a muchas soluciones de ecuaciones diferenciales (y eso es solo el comienzo)
• Álgebra matricial: versión matricial de la mecánica cuántica
• Geometría diferencial (riemanniana, etc.): hizo posible la relatividad general
• Teoría de grupo: numerosas y profundas aplicaciones a la QM y, por lo tanto, a la física de partículas elementales

El problema es que hay muchas variedades de matemáticas, y uno no sabe cuál de las no aplicadas hasta ahora será útil primero. Esa es la forma como es.

Answer 16

Las matemáticas no han sido sobre la realidad desde al menos 300 a. C., cuando Euclides demostró la infinitud de los números primos. Como una declaración que trata con números arbitrariamente grandes, más grandes que, digamos, el número total de configuraciones posibles de partículas en el universo desde el principio del tiempo hasta el final, no tiene una interpretación física concebible.

Pero de alguna manera, a pesar de que las matemáticas no se ocupan principalmente de los problemas de modelado, siempre resultan útiles a largo plazo. La relatividad y la mecánica cuántica están impulsadas por las matemáticas desarrolladas originalmente por razones puramente estéticas, y que de otro modo nunca se habrían desarrollado, como es la criptografía moderna.

Como resultado, entender la verdad parece ayudarnos a comprender la realidad.

Answer 17

Buena pregunta. Creo que confundiste a los matemáticos con los físicos :). Diría que los físicos tienen como objetivo describir con precisión la realidad (física) utilizando modelos matemáticos. Esta es y siempre ha sido la relación entre física y matemáticas. Esto plantea la pregunta: “¿qué hacen los matemáticos entonces?”. En realidad, creo que la respuesta de Jack Fraser es bastante buena, pero también lo consideraré.

Piense en los matemáticos de esta manera: somos como físicos, excepto que no estudiamos la realidad física. Estudiamos objetos que no se pueden ver o sentir en el sentido convencional, pero que, sin embargo, son parte del universo (lo que sea que eso signifique).

Probablemente esté familiarizado con algunos de los tipos de objetos que a los matemáticos les gusta estudiar: números, simetría, formas, funciones diferenciables (si ha tomado cálculo). Estas son abstracciones de cosas que experimentamos diariamente en la realidad * física *. Pero hay MUCHO más que esto. Si tienes curiosidad acerca de cómo estudiamos y por qué es tan hermoso y fascinante, entonces quizás deberías hacer otra pregunta :). si tienes curiosidad, entonces ya eres matemático.

Answer 18

El propósito de las matemáticas nunca ha sido describir la realidad, pero los conceptos matemáticos abstractos se usan ampliamente en disciplinas que tienen ese propósito.

Por ejemplo, la abstracción de álgebra lineal a espacios vectoriales y espacios de Hilbert ha hecho posible la mecánica cuántica, y la abstracción de conceptos algebraicos en la teoría de grupos es la física de partículas ampliamente utilizada. La lista continúa, incluso a la teoría de números que ha convertido el comercio de Internet en lo que es hoy.

La abstracción no significa inútil, sino más general, y el conocimiento sobre las relaciones generales tiene muchas aplicaciones.

Answer 19

(1) Las matemáticas, como la lógica, es un sistema que aplica consistencia a otros sistemas.

(2) Las matemáticas son útiles para aplicar consistencia a materias concretas como la física.

(3) La lógica es útil para aplicar consistencia a temas abstractos como la metafísica.

(4) La realidad es retratada tanto por la física como por la metafísica.

(5) Así, la realidad se extiende desde la física a la metafísica en la dimensión de la abstracción.

(6) Como se explicó anteriormente, el propósito de las matemáticas, junto con la lógica, es resolver las inconsistencias en la realidad.

(7) Pero en sí mismo, el dominio de las matemáticas es pura consistencia independiente de la realidad.

(8) Entonces, el propósito básico de las matemáticas es explorar la consistencia en aras de la consistencia, por lo que podría usarse para resolver las inconsistencias de varias realidades.

(9) Pero es importante aplicar el algoritmo matemático correcto para resolver una realidad.

(10) En los tiempos modernos, las matemáticas se salieron del camino con el uso de la transformación de Lorentz en la teoría de la relatividad. El siguiente artículo utiliza la lógica para explorar la incongruencia en el uso de las matemáticas por Einstein.

Spacetime 1: Velocidad y frecuencia de Vinay Agarwala en The Vinaire Viewpoint

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Answer 20

Que indignante.

Me he preguntado algo como esto … Hace muchos años. Math es solo Math, la búsqueda interminable de las mejores declaraciones lógicas que conducen a más deducciones lógicas. Eso es matemática.

Oh, puedes usar las matemáticas para describir los verdaderos gusanos. ¿Cómo te atreves? … ¿Por qué no sigues la lógica? Eso es matemática.

Matemáticas es Matemáticas. La física es física. Sin embargo, usan el mismo idioma. Porque es imparcial.