¿Cuáles son los significados de la función Ramanujan tau?

Answer 1

Las ecuaciones

[matemáticas] 1. \ tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n) [/ math] if gcd [math] (m, n) = 1 [/ math]

[matemáticas] 2. \ tau (p ^ r) = \ tau (p) \ tau (p ^ r) – p ^ {11} \ tau (p ^ {r-1}) [/ math]

Mordell ha demostrado esto poco después de que Ramanujan anunciara estas conjeturas. El punto principal sobre estas afirmaciones es que Mordell introdujo ciertos endomorfismos en el espacio de las formas cúspides (primero solo para la función Ramanujan) y mostró que la función Ramanujan es una forma propia de estos operadores. De esta teoría de operadores se deducen fácilmente las dos primeras conjeturas.

El punto principal es que este formalismo de los operadores es enorme. Puede definir estos llamados operadores de Hecke en el espacio de formas de cúspide generales y también en el espacio de formas modulares (incluso para formas débilmente modulares). Entonces, la función Ramanujan condujo de alguna manera al descubrimiento de los operadores de Hecke y las álgebras de Hecke, lo que hasta hoy tiene un gran impacto en la teoría de números.

Answer 2

La función [matemática] \ tau [/ matemática] de Ramanujan es una función muy importante en la teoría de números, y su importancia aumenta con el tiempo con los desarrollos nuevos y recientes. La función se define [math] \ tau: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Z} [/ math] por la siguiente identidad:

[matemáticas] \ sum_ {n \ geq 1} \ tau (n) q ^ n = q \ prod_ {n \ geq 1} (1-q ^ n) ^ {24} = \ eta (z) ^ {24} = \ Delta (z), [/ matemática] donde [matemática] q = \ exp (2 \ pi iz) [/ matemática] con [matemática] \ Im z> 0 [/ matemática] y [matemática] \ eta [/ matemática] es la función Dedekind eta y la función [matemática] \ Delta (z) [/ matemática] es una forma de cúspide holomórfica de peso 12 y nivel 1.

Ramanujan conjeturó las siguientes propiedades de esta función que Mordell (las dos primeras) y Deligne (la tercera) probaron posteriormente:

1. [matemáticas] \ tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n) [/ matemáticas] si [matemáticas] \ mcd (m, n) = 1 [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ tau (p ^ {r + 1}) = \ tau (p) \ tau (p ^ r) – p ^ {11} \ tau (p ^ {r – 1}) [/ matemáticas] para p primo yr> 0
3. [matemáticas] | \ tau (p) | \ leq 2p ^ {11/2} [/ math] para todos los primos p.

Deligne recibió la medalla Fields por su prueba de las conjeturas de Weil de las cuales se deriva la tercera conjetura de Ramanujan. Hay muchas congruencias que la función tau satisface y surge de vez en cuando en muy diversos campos de las matemáticas y la física matemática. La función también asume un papel fundamental en cualquier curso sobre formas modulares.

Para más información, lea la bonita página de Wikipedia Ramanujan función tau