¿Para qué resuelve el teorema de Taylor y cómo se usa?

Answer 1

Detallaré un ejemplo.

Suponga que [matemática] f (x) = \ exp (x) [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática] y [matemática] n = 2 [/ matemática]. La ventaja de [math] \ exp (x) [/ math] es que todas sus derivadas son iguales a sí mismas, es decir, [math] d ^ k (\ exp (x)) / dx ^ k = \ exp (x) [/ math], para cualquier positivo [math] k [/ math], y así las matemáticas se mantienen simples. El TT luego dice que

[matemáticas] \ exp (x) = \ exp (0) + \ exp (0) x + \ frac {\ exp (0) x ^ 2} {2} + \ frac {\ exp (z) x ^ 3} {6} [/ matemáticas] (ec. 1)

El último término, [matemática] R_3 (x) [/ matemática] en este caso, a menudo se denomina “término de error” o “resto”.

Pero [matemáticas] \ exp (0) = 1 [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] \ exp (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {\ exp (z) x ^ 3} {6} [/ matemáticas]

Afortunadamente en este caso, donde [math] f (x) = \ exp (x) [/ math], para cada valor de [math] x [/ math] podemos resolver el valor de [math] z [/ math ] que satisface el teorema; en la mayoría de los casos de [matemática] f (x) [/ matemática] la ecuación no se puede resolver para [matemática] z [/ matemática] solo con álgebra analítica, y se deben usar métodos numéricos. Entonces, volviendo al ejemplo:

[matemáticas] z = \ ln [6 x ^ {- 3} (\ exp (x) -1-x- \ frac {x ^ 2} {2})] [/ matemáticas]

Por ejemplo, para [matemáticas] x = 1, z = 0.27 [/ matemáticas]; para [matemáticas] x = 2, z = 0.58 [/ matemáticas]; para [matemáticas] x = 10, z = 4.88 [/ matemáticas]; para [matemáticas] x = -2, z = 0.433 [/ matemáticas]; para [matemáticas] x = -10, z = -1.4 [/ matemáticas]. Estos valores de [matemática] z [/ matemática] confirman que existe una [matemática] z [/ matemática] entre [matemática] c = 0 [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] donde (ecuación 1) Está satisfecho. Este es un ejemplo de aplicación, no una prueba formal.

El término de error [matemáticas] R_n (x) = \ frac {f ^ {(n + 1)} (z)} {(n + 1)!} (Xc) ^ {n + 1} [/ matemáticas] puede ofrecer un límite superior en el error de aproximación [matemática] f (x) [/ matemática] con el polinomio de orden [matemática] n [/ matemática] si podemos obtener el valor máximo de [matemática] f ^ {(n + 1 )} (z) [/ math] para [math] z [/ math] entre [math] c [/ math] y [math] x [/ math]. Entonces, en este caso, considerando que [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], nos gustaría maximizar

[matemáticas] \ max_z R_n (x) = \ frac {\ exp (z)} {(n + 1)!} x ^ {n + 1} [/ matemáticas] (para [matemáticas] 0 \ le z \ le x [/matemáticas])

que en este caso se logra simplemente con [matemáticas] z = x [/ matemáticas] porque [matemáticas] \ exp (x) [/ matemáticas] aumenta con [matemáticas] x [/ matemáticas] para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]. Entonces podemos concluir que

[matemáticas] R_n (x) \ le \ frac {\ exp (x)} {(n + 1)!} x ^ {n + 1} [/ matemáticas]

Como ejemplo numérico final, considere [matemática] x = 3 [/ matemática], es decir, la aproximación de segundo orden de [matemática] \ exp (3) = 20.09 [/ matemática] con [matemática] 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2} = 8.5 [/ math] (en este ejemplo, esta es una aproximación pobre que no debería usarse en la práctica). El error encuadernado es

[matemáticas] R_2 (3) \ le \ frac {\ exp (3)} {(2 + 1)!} x ^ {2 + 1} = 90.38 [/ matemáticas]

y de hecho este límite de error es (bastante) mayor que el error real [matemática] 20.09-8.5 = 11.59 [/ matemática].

Answer 2

En esencia, establece que cada función que es diferenciable al menos [matemática] (n + 1) [/ matemática] veces, puede ser muy aproximada por un polinomio de grado [matemática] n [/ matemática], para cada punto cercano suficiente para el punto [matemáticas] c [/ matemáticas]. Este es un teorema extremadamente poderoso, ya que es mucho más fácil tratar con polinomios que con muchas otras funciones.

Answer 3

Básicamente, establece que una función suficientemente diferenciable puede ser aproximada en un intervalo por un polinomio, y que conocemos el error de esa aproximación. Esto nos permite calcular, con un grado de precisión controlable, valores de funciones diferenciables como [math] e ^ x, sin (x), cos (x) [/ math] y otras que usan funciones polinómicas. Es importante destacar que las computadoras pueden hacer esto.

Answer 4

No recuerdo cómo se prueba en detalles, pero creo que el método para probar este resultado puede generalizarse a partir del teorema del valor medio, o algo relacionado. Es posible que necesite echar un vistazo breve al podio si doy una conferencia sobre esta fórmula para dar una prueba. Una breve mirada es suficiente para seguir la idea al terminar la prueba en detalles. Por lo tanto, si me permites hacerlo, déjame dejar de probar pero mencionar cómo hacerlo.

Lo que haría es ver la idea básica detrás y trabajar por mí mismo si solo pudiera completar los detalles del argumento, de esa manera, hay una buena oportunidad para mí en el futuro de rehacerlo o mostrárselo a mi estudiantes sin mucha molestia en absoluto. Como acabo de decir, estoy seguro de dar una conferencia que generalmente no abre el libro de texto en absoluto o, a lo sumo, con una breve mirada, mientras sigo mi instinto en el podio de la conferencia. Solo para algo nuevo, lo leería cuidadosamente el día antes de la clase, y miraría brevemente si fuera necesario en el podio. Nuevamente, si me preguntas mi opinión, diría que la concentración, la motivación, la práctica y la paciencia es (no es un error tipográfico) el truco para hacer matemáticas. ¡Aprendiéndolo haciendo!