¿Cómo están los matemáticos tan seguros de que pi es el número correcto para encontrar el área de un círculo?

Answer 1

La pregunta es “¿Cómo están los matemáticos tan seguros de que pi es el número correcto para encontrar el área de un círculo?”

Una breve respuesta es que π se define en la Geometría Euclidiana, que es una rama de las matemáticas y no de la física. Hoy, consideramos los sistemas matemáticos como definidos axiomáticamente y, por lo tanto, los números que surgen en él no son constantes físicas. Las constantes físicas pueden cambiar en principio, pero las constantes matemáticas no. Por supuesto, podemos cometer errores en matemáticas, pero π está demasiado bien establecido para que su valor esté en duda (la geometría euclidiana es consistente y completa).

Para una respuesta y comentario más detallados , comencemos con una definición de π . π es la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo. Algunas preguntas y respuestas pertinentes son

1. ¿Es constante π , es decir, su valor depende del diámetro de un círculo? En geometría euclidiana o ‘plana’ no lo hace (por teoremas de similitud). En realidad, la posibilidad de geometrías alternativas con respecto a π no debería surgir porque π está definido para Geometría Euclidiana. Para la geometría esférica, la relación no sería constante, pero la relación, como quiera que se llame, no alteraría la definición o el valor de π .
2. ¿Podría algún tipo de descubrimiento cambiar el valor de π ? ¡No! π no es una constante física. Surge, primero, en geometría elemental, pero luego se pueden dar muchas caracterizaciones alternativas (ver otras respuestas). π es un número real al igual que 1, [math] \ sqrt {2} [/ math], y e (e es el número de Euler y la base de los logaritmos naturales).
3. Dada la definición anterior de π , ¿cómo sigue la fórmula para el área de un círculo? Una respuesta simple y no rigurosa: si el radio de un círculo de radio r y la circunferencia C describe el arco dC, entonces el área del triángulo (aproximado) descrito es [matemática] \ frac {1} {2} rdC [/ matemática] . El área total es [matemática] \ frac {1} {2} rC = \ pi {r} ^ {2} [/ matemática]. Tenga en cuenta que π podría definirse en términos de área (o cualquiera de muchas otras formas explícitamente o no relacionadas explícitamente con la geometría) y el resultado de la circunferencia en términos de radio derivado.
4. Arquímedes mostró la fórmula del área. Él utilizó “infinitesimales”. También demostró la fórmula para el volumen de una esfera con un enfoque similar.
5. Las preguntas sobre π y su naturaleza han aparecido en Quora con cierta frecuencia. Ver también la respuesta de Anil Mitra a ¿Podría un cambio en las leyes naturales de la física cambiar el valor de π? y la respuesta de Anil Mitra a ¿Podría Dios hacer [matemáticas] \ pi = 3.15 [/ matemáticas]? Soy un poco más filosófico en esas respuestas. Y también puede leer respuestas útiles de otros coroanos.
6. Un pensamiento adicional – 5.20.2016. Otro Quoran a quien respeto prefiere las definiciones analíticas de [math] \ pi [/ math] porque son más fundamentales y dejan en claro desde el principio que [math] \ pi [/ math] es un número puro y eso no es y no puede ser alterado por una nueva física o una mejor medición o incluso un acto de Dios (Dios, por supuesto, como ‘lógico y matemático supremo’ no querría o ni siquiera pensaría en tratar de fraude con [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] aunque a algunos de sus admiradores les gustaría que lo hiciera). Estoy de acuerdo con el argumento sobre la naturaleza de [math] \ pi [/ math]. Sin embargo, creo que también es una buena idea comenzar con la definición geométrica (euclidiana) para eso es donde surge la confusión y nos gustaría eliminar esa confusión en lugar de mostrarla mal desde otro enfoque. El estudiante de matemáticas debería apreciar que [math] \ pi [/ math] tal como se concibe en Euclidean Geometry es tan seguramente un número puro como en la definición analítica.

Gracias por pedirme que responda esta pregunta.

Answer 2

Es el número correcto para encontrar el área o circunferencia correcta de círculos en un espacio plano. ¡Es correcto porque se define como la circunferencia dividida por el diámetro y, por lo tanto, se puede demostrar que es un área sobre el radio al cuadrado!

Ahora, si se pregunta por qué es el valor que es, entonces eso proviene de muchas fórmulas diferentes que involucran [math] \ pi [/ math]

Por ejemplo

Vea las fórmulas Pi – de Wolfram MathWorld

Puede usar fácilmente Excel para evaluar las primeras aproximaciones de esto.

Prueba de circunferencia del círculo

Answer 3

Hay dos formas de definir [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] La primera es como el área de un círculo de radio 1, la segunda como el perímetro de un círculo de diámetro 1. La equivalencia de las dos definiciones se puede observar por expresando el área como una integral en coordenadas polares en el plano.

La definición anterior no le da un valor numérico a [math] \ pi. [/ math] Para producir aproximaciones a [math] \ pi [/ math] es suficiente producir aproximaciones para el área. Una forma es hacer lo que hizo Arquímedes, pensar en el círculo como un pastel, dividirlo en muchas rebanadas iguales (preferiblemente una potencia de 2, [matemática] 2 ^ n [/ matemática]) y aproximar cada rebanada con un triángulo. Puede calcular el área de un segmento explícitamente ya que [math] \ sin [/ math] [math] (\ pi / 2 ^ n) [/ math] puede calcularse explícitamente.

Answer 4

¿Desconfías de Pi?

Nuestros matemáticos están muy seguros sobre el área de la circunferencia porque confían absolutamente, y tienen buenas razones para ello, en la precisión perfecta de las operaciones matemáticas. Cuestionar a Pi implicaría cuestionar los fundamentos más básicos de las matemáticas en sí, la forma íntima de pensar de muchas personas y sus valores más profundos y creencias asumidas entre muchas otras cosas. Eso se consideraría un verdadero anatema científico.

Pi es un hecho matemático. Estoy de acuerdo con eso. No podemos cambiar su valor, como tampoco podemos cambiar el valor constitutivo de ningún otro número. Pero, ¿podemos cuestionar la idea de la irracionalidad misma? ¿Qué pasaría si la irracionalidad fuera una solución incorrecta a la aparición de una desproporción en nuestros instrumentos referenciales principales para realizar medidas que son el número 1 (para medir cantidades), el segmento lineal 1 (para medir distancias lineales) y el área cuadrada 1 (para medir cualquier otro tipo de áreas, no solo cuadrados)? Incluso para sugerir que el resultado (es decir, Pi) de una operación matemática correcta podría conducir a una conclusión incorrecta (es decir, que el área del círculo podría estar equivocada al usar el número correcto Pi) se consideraría una monstruosidad.

Pero en la Historia de la humanidad, todas las revoluciones importantes comenzaron con monstruosos “anatemas”.

Creo que en la circunferencia del radio 1 están involucrados dos tipos diferentes de cuadrados: el cuadrado 2 (dentro del círculo) y el cuadrado 4 (fuera del círculo). Esos cuadrados tocan el círculo en diferentes puntos. Algunos de esos puntos están en las coordenadas X e Y, y otros están en las coordenadas Z (las diagonales, donde aparece la irracionalidad).

Nuestros matemáticos intentan calcular la circunferencia usando un área referencial única, el área cuadrada 1. Los centros de simetría del cuadrado 4 son proporcionales con respecto a los centros de simetría del cuadrado 1, pero los centros de simetría del cuadrado 2 son desproporcionados con respecto a los centros de simetría del cuadrado 1. Entonces, en la circunferencia y su perímetro concurren dos tipos de simetrías diferentes.

(Para verlo, divida el cuadrado 1 en cuatro cuadrados de 0,25 y establezca sus respectivos centros; divida el cuadrado 2 en cuatro cuadrados de 0,50 y establezca sus centros; divida el cuadrado 4 en cuatro cuadrados de 1 y establezca sus centros, y luego obtener diferentes segmentos midiéndolos desde el centro de la circunferencia hasta el centro de esos cuadrados (siguiendo la coordenada diagonal). El segmento relacionado con 0,25 (del cuadrado 1) y 1 (del cuadrado 4) son lo mismo, repetido 1 o dos veces. Pero el segmento relacionado con 0,50 (del cuadrado 2) tiene una proporción diferente, es desproporcionado)

Ese es el mismo problema que aparece en nuestro cuadrado referencial 1 cuando trazamos la diagonal en el interior; la longitud de esa diagonal es desproporcionada con respecto a la longitud de nuestro segmento referencial 1 que usamos para construir el cuadrado 1.

Creo que en lugar de ser conscientes de que necesitamos usar dos tipos de simetrías referenciales cuando se trata de medir el círculo y su área, estamos usando solo un tipo de simetría, la del cuadrado 1. Pero cuando comparamos el diámetro y el perímetro que estamos comparando (sin darnos cuenta) los dos tipos de simetrías desproporcionadas y eso es porque obtenemos un resultado siempre desproporcionado expresado en forma de decimales infinitos.

La consecuencia es la conclusión absurda de que nunca podremos medir exactamente el área de la circunferencia porque su resultado tiene decimales infinitos. Solo podemos obtener aproximaciones sucesivas a una cantidad cuya precisión depende de una magnitud infinita. También es absurdo pensar que un segmento limitado, la hipotenusa del teorema de Pitágoras, no puede expresarse con precisión porque tiene decimales infinitos. (Que en realidad causa la ruptura entre la geometría y la aritmética en Grecia, los griegos consideran que no era un número).

Creo que las matemáticas, y todos los modelos científicos que soporta actualmente, no son solo para operar instrumentalmente, sino principalmente para pensar racionalmente. Si pensáramos racionalmente, podríamos tratar de buscar una solución racional a ese problema. Los griegos no lo encontraron, pero eso no significa que no exista. Esa solución racional cambiará, como adivinó la forma de calcular la circunferencia.

Saludos cordiales.

Answer 5

Un aparte: pi es el número más inconveniente. ¿Por qué debería ser 3.14159 … etc.? ¿No sería maravilloso si pi fuera un buen número redondo como 3? Reduciría drásticamente el estrés que enfrentan los jóvenes estudiantes en este país y en todo el mundo.

¡Excelente idea! De hecho, en 1897 la legislatura de Indiana propuso que se cambiara pi a 3.2 (ver enlace a continuación). ¿No habría sido maravilloso? Lamentablemente no fue aprobada.

Indiana Pi Bill

Mi opinión es que los funcionarios electos de Indiana no eran lo suficientemente ambiciosos; deberían haber ido directamente a 3. Si Donald Trump gana las elecciones, voy a escribirle para sugerirle que apruebe una ley que cambie pi a 3. Eso, por supuesto, solo se convertirá en una prioridad después de que derogue Obamacare. Y después de que deroga las leyes de la gravedad. Incluso Donald tiene que priorizar.

Answer 6

Los valores originales de pi fueron encontrados por una cadena alrededor de una rueda. Así es como los sumerios obtuvieron 3: 08.30 = 3.14166666

Los griegos usaron el área del diámetro de una serie de polígonos para encontrar su valor de pi, esto siguió siendo la forma habitual hasta que se encontraron algunos métodos más avanzados. Entonces usaron algo así como un hexágono de indiameter 2 tiene un área de 2 sqrt (3) = 3.464, y para un circundiametro, obtenemos 1.5 sqrt (3) = 2.59876. El dodecágono tiene un área / borde de 6 + 3.sqrt (3), el inradius es 1 + 0.5 sqrt (3) = 3.215390, el curumradius es (sqrt (6) + sqrt (2)) / 2 da 3.000000

Esto progresa a través de los polígonos, dando límites superiores e inferiores exactos a pi. El método de duplicación es el utilizado. Esto es lo suficientemente bueno como para que alguien con un poco de tiempo libre pueda obtener cuarenta lugares del número.

Fue solo con algunos métodos más exactos y computadoras poderosas que llegamos a cientos de lugares de pi.

Answer 7

π se define como la relación entre el área de un círculo y el área del cuadrado en su radio. Euclides demostró en la Proposición 2 en el Libro XII de sus Elementos que esta proporción es la misma para todos los círculos. Así que no hay duda de que el área de un círculo es [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas] donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es el radio del círculo.

Su pregunta no es realmente acerca de si [math] \ pi [/ math] es el número correcto para encontrar el área de un círculo, sino que se trata de encontrar el valor numérico de [math] \ pi [/ math]. Para eso, puede comenzar leyendo la Medición de un círculo de Arquímedes en https://archive.org/stream/works …

Answer 8

Puede configurar una integral para calcular el área de un círculo de radio 1 y verificar que esta integral sea igual a pi. La forma estándar es usar [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemáticas] y resolver para y de modo que [matemáticas] y = \ sqrt (1-x ^ 2) [/ matemáticas] e integrar desde [ math] \ sqrt (1-x ^ 2) y – \ sqrt (1-x ^ 2) [/ math]. Bajo la condición de que la función f no sea negativa, [math] \ int_a ^ bf (x) [/ math] está de acuerdo (a menudo se define) como el área bajo la curva f (x) entre a y b. Luego integre el semicírculo sobre la región donde y como arriba no es negativo. Puede generalizar el argumento a los círculos usando [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] para ver que su área es [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 9

Suponiendo que vivimos en un universo que es “plano”, donde el teorema de Pitágoras se mantiene en todas las direcciones, sería correcto. Pero la teoría general de la relatividad de Einstein ha cambiado un poco.

Sin embargo, cuando no hay efectos de flexión del espacio y el círculo se puede definir naturalmente en un sistema de coordenadas planas, el valor de PI es una definición válida y es computable.

Answer 10

Recuerdo que en mis días de escuela lo había estudiado …

tome un círculo, mida su circunferencia y diámetro y tome la proporción de ellos. Esta proporción es constante sea cual sea el tamaño del círculo que sea pi … y el área del círculo se determina cortando eso en sectores y formando un rectángulo por esos sectores. los sectores son del círculo, entonces área del círculo = área del rectángulo

podemos encontrar el área de la misma

Answer 11

Pi no es un número que pueda calcularse como la razón de 2 números racionales. Es un número irracional que solo puede aproximarse mediante el uso de procedimientos interminables; por lo tanto, Pi no se puede conocer exactamente. Como señaló Buckminster Fuller, la madre naturaleza no usa Pi porque tomaría demasiado tiempo. La representación de Pi como un número racional solo existe en las mentes de los humanos y las computadoras mal informados.

Answer 12

Que consta de 2 partes.

1. La relación de área a [matemática] r ^ 2 [/ matemática] es invariante bajo la escala. Eso ya ha sido probado por Euclides.
2. Una posible definición de [math] \ pi [/ math] es solo este número real único.

Hay muchas definiciones más modernas de [math] \ pi [/ math] pero son equivalentes.

Answer 13

Porque pi es el número real que necesitarás usar para calcular el área de un círculo.

pi es la razón de la circunferencia y el diámetro, y se ha encontrado que es la misma en todos los círculos perfectos.

[matemática] pi * r ^ 2 [/ matemática] es la fórmula para el área de un círculo, y se ha demostrado que es cierta (visite este sitio: Prueba del área de un círculo)

Answer 14

¿Cómo lo saben ellos? Construyen una prueba que demuestra que

1. π existe
2. π tiene un valor real
3. π no tiene otro valor posible sino π.

Eso es mucha confianza de que π es π.