El componente más importante de un modelo matemático (al menos, en el contexto de la física, mi descripción podría tener que modificarse ligeramente para otras disciplinas), es que tiene un espacio de estado.
Esta será una colección de posibles configuraciones de su sistema. Para algo como la mecánica clásica, esta podría ser la colección de tuplas [math] (x, p) [/ math], donde [math] x [/ math] denota la posición y [math] p [/ math] denota el impulso . Para un modelo de población muy básico en biología, esto podría ser algo así como (número de lobos, número de ovejas).
Esto es, a priori, solo un conjunto, una estructura matemática. Sin embargo, esto tiene una interpretación : interpretamos los puntos en el espacio de estado como correspondientes a algo físico en el mundo (como en los ejemplos que he proporcionado).
Sin embargo, el simple hecho de tener un espacio de estado suele ser bastante aburrido; por lo general, desea saber algo como cómo vamos de un estado a otro en este espacio. También podríamos tener algunas restricciones sobre qué puntos pueden estar en el espacio de estado. Una cosa común a tener en cuenta es la evolución del tiempo . Es decir, desea poder decir cómo, comenzando en un punto en el espacio de estado, puede predecir dónde terminará después de cierto tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas].
Aquí es generalmente donde las ecuaciones se arrastran. La idea es que tienes algún tipo de restricción (a menudo, una ecuación diferencial) que da una relación entre los diversos componentes del espacio de estados.
Como ex estudiante de física, déjame darte un ejemplo de la mecánica clásica. Digamos que está interesado en el movimiento de una partícula en el plano. ¿Cuáles son los aspectos relevantes del sistema? Nos preocupamos por la posición [math] (x, y) [/ math] y la velocidad [math] (v_x, v_y) [/ math], por lo que nuestro espacio de estado es [math] \ mathbb {R} ^ 4 = \ {(x, y, v_x, v_y) \} [/ math].
A continuación, queremos entender la evolución temporal de esta partícula. Las leyes de Newton nos dicen que [matemáticas] F = ma [/ matemáticas], es decir [matemáticas] F (x, y, v_x, v_y) = m \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left ( x (t), y (t) \ right) [/ math]. Además, sabemos que [matemáticas] v_x (t) = \ frac {d} {dt} (x (t)) [/ matemáticas] y [matemáticas] v_y (t) = \ frac {d} {dt} (y (t)) [/ matemáticas].
Supongamos que [matemáticas] F = 0 [/ matemáticas] —la partícula viaja libremente en el espacio, sin interactuar con nada. Entonces nos quedan las ecuaciones [matemáticas] \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ izquierda (x (t), y (t) \ derecha) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_x (t) = \ frac {d} {dt} (x (t)) [/ math] y [math] v_y (t) = \ frac {d} {dt} (y (t)) [/ math].
Estas son ecuaciones diferenciales. La interpretación de esto es que si me das un punto inicial [matemáticas] (x_0, y_0, v_ {x, 0}, v_ {y, 0}) [/ matemáticas] en el espacio de estado, entonces puedo darte el estado [math] (x (t), y (t), v_x (t), v_y (t)) [/ math] en cualquier momento [math] t [/ math].
Si está familiarizado con las ecuaciones diferenciales, entonces probablemente pueda dar soluciones explícitas a estas restricciones. Específicamente, cualquier solución tendrá la forma [matemática] \ left (x (t), y (t), v_x (t), v_y (t) \ right) = (x_0 + v_x (0) t, y_0 + v_y (0) t, v_x (0), v_y (0)) [/ math].
La interpretación física de esto es que, en ausencia de cualquier fuerza, una partícula continuará moviéndose en línea recta con una velocidad constante.
O, para decirlo como lo hizo Newton: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo. Un objeto en movimiento tiende a permanecer en movimiento”.