¿Sienten los matemáticos que Fermat encontró una prueba más simple y más “elegante” (sin ofender a Wiles) de su último teorema, o simplemente se equivocó?

Answer 1

De hecho, tenemos una buena idea de lo que hizo.

Trabajó en lo que llamó “método de descendencia”: el tipo de prueba que supone que tenemos un ejemplo, y muestra que esto implica que existe otro ejemplo con números más pequeños; así no puede haber un ejemplo mínimo; así (si las respuestas tienen que estar en números naturales) no puede haber ningún ejemplo en absoluto. Aquí, si [matemática] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemática] para [matemática] n> 2 [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] no puede ser ningún compuesto excepto [matemática] 4 [/ math] de lo contrario hay una [math] n [/ math] más pequeña (si [math] n = 6 [/ math], entonces [math] a = x ^ 2, b = y ^ 2, c = z ^ 2 [/ math] son ​​un ejemplo con [math] a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 [/ math]). Si [matemática] n = 4 [/ matemática] entonces [matemática] a = x ^ 2, b = y ^ 2, c = z ^ 2 [/ matemática] son ​​un triple pitagórico y según el teorema de Diophantus junto al cual Fermat hizo su notación, [matemáticas] a = k (i ^ 2-j ^ 2) [/ matemáticas] [matemáticas] b = 2ijk, c = k (i ^ 2 + j ^ 2) [/ matemáticas] para algunas [matemáticas ] i, j, k [/ math] y [math] k [/ math] deben ser [math] 1 [/ math] (es decir, un triple pitagórico “primitivo”) o tenemos ejemplos más pequeños; entonces obtenemos [matemática] i ^ 2 – j ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] i ^ 2 + j ^ 2 = z ^ 2 [/ matemática], ahora use el teorema acerca de los triples pitagóricos nuevamente para derivar la contradicción (en un estilo algo diferente, Fermat escribió el caso [math] n = 4 [/ math]).

Luego nos queda el caso de [math] n [/ math] un primo impar. Inferimos que Fermat trabajó primero en el caso [matemática] n = 3 [/ matemática] debido a cómo su nota dice: “ningún cubo en dos cubos, o cuadrado de cuadrados en dos cuadrados de cuadrados, o en general cualquier poder mayor que el cuadrado en dos poderes similares se puede dividir “y también porque menciona los casos [matemática] n = 3 [/ matemática] y [matemática] n = 4 [/ matemática], en lugar de la afirmación general, en correspondencia con sus compañeros matemáticos. Así que probablemente descubrió una prueba como la que Euler encontró para el caso [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3 [/ matemática] – y probablemente cayó en el error fácil de pensar que se generaliza en todos los números primos impares, cuando en realidad una prueba de ese estilo funciona para algunos números primos y falla para otros, por una sutil razón que Kummer dilucida por primera vez en el siglo XIX como una cuestión de si existe una factorización prima única en los dominios ciclotómicos apropiados.

tl; versión dr: estamos bastante seguros de lo que hizo y de dónde se deslizó

Answer 2

Estoy seguro de que la mayoría piensa que simplemente se equivocó.