En un nivel básico, los primos siempre iban a ser útiles, ya que cualquier campo finito tiene un orden [matemático] p ^ k [/ matemático] para algunos primos [matemático] p [/ matemático], y los primos aparecen de manera bastante notoria en los chinos Teorema restante. Una idea general es que si tiene algún problema relacionado con los enteros, en particular su estructura multiplicativa, a menudo es una buena idea intentar estudiar lo que está sucediendo con los números primos o poderes primos, y luego acumularlos. Los premios no son algo que aparece accidentalmente en las matemáticas.
En cuanto a la investigación avanzada en matemáticas, siempre es bastante difícil determinar exactamente qué será útil y cómo. Hardy hizo el caso hace 75 años en A Mathematician’s Apology que la teoría de números era fundamentalmente inútil, pero que valía la pena estudiar de todos modos. Irónicamente, con la invención de la criptografía, gran parte de lo que Hardy y Ramanujan habían trabajado en ese momento de repente se volvió relevante para los no matemáticos.
Sin embargo, intentaré dar una especie de argumento general sobre por qué la investigación avanzada actual en números primos podría conducir a resultados matemáticos importantes que serán relevantes para los no matemáticos. Verá, la hipótesis de Riemann no es solo una declaración sobre números primos; en realidad, es más una declaración sobre funciones L. De hecho, la hipótesis de Riemann generalizada (y sus extensiones) es realmente más interesante que solo la hipótesis de Riemann.
Cualquier función L tiene lo que se llama un producto Euler: se puede dividir en un producto de piezas más simples sobre los números primos. Para la función zeta de Riemann, se ve así:
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[matemáticas] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} = \ prod_p \ left (1 – p ^ {- s} \ right) ^ {- 1 } [/matemáticas]
Existen conexiones profundas entre las funciones L, las formas automorfas, las curvas elípticas (que también son importantes en la criptografía) y la teoría de la representación. La conexión probada más famosa es Monstrous moonshine, que proporciona una conexión entre el grupo de monstruos y las formas modulares. Hay conexiones conjeturales entre esto y la gravedad cuántica: no sé lo suficiente de física para hablar de esto de manera significativa, pero quizás esto no debería ser tan sorprendente, ya que la teoría de la representación es muy importante para la teoría del campo cuántico.
Existen otras conexiones conjeturales, muchas de ellas agrupadas bajo el programa Langlands, algunas de las cuales han demostrado y otras no. Si pudiéramos averiguar exactamente cuáles son todas estas conexiones, tendríamos una mejor comprensión de lo que realmente son las funciones L, qué hacen las formas automorfas y cómo todo esto se relaciona con la teoría de la representación. Todos estos son resultados altamente deseables.