¿Son útiles los números primos o son un juego lógico para los matemáticos?

En un nivel básico, los primos siempre iban a ser útiles, ya que cualquier campo finito tiene un orden [matemático] p ^ k [/ matemático] para algunos primos [matemático] p [/ matemático], y los primos aparecen de manera bastante notoria en los chinos Teorema restante. Una idea general es que si tiene algún problema relacionado con los enteros, en particular su estructura multiplicativa, a menudo es una buena idea intentar estudiar lo que está sucediendo con los números primos o poderes primos, y luego acumularlos. Los premios no son algo que aparece accidentalmente en las matemáticas.

En cuanto a la investigación avanzada en matemáticas, siempre es bastante difícil determinar exactamente qué será útil y cómo. Hardy hizo el caso hace 75 años en A Mathematician’s Apology que la teoría de números era fundamentalmente inútil, pero que valía la pena estudiar de todos modos. Irónicamente, con la invención de la criptografía, gran parte de lo que Hardy y Ramanujan habían trabajado en ese momento de repente se volvió relevante para los no matemáticos.

Sin embargo, intentaré dar una especie de argumento general sobre por qué la investigación avanzada actual en números primos podría conducir a resultados matemáticos importantes que serán relevantes para los no matemáticos. Verá, la hipótesis de Riemann no es solo una declaración sobre números primos; en realidad, es más una declaración sobre funciones L. De hecho, la hipótesis de Riemann generalizada (y sus extensiones) es realmente más interesante que solo la hipótesis de Riemann.

Cualquier función L tiene lo que se llama un producto Euler: se puede dividir en un producto de piezas más simples sobre los números primos. Para la función zeta de Riemann, se ve así:

[matemáticas] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} = \ prod_p \ left (1 – p ^ {- s} \ right) ^ {- 1 } [/matemáticas]

Existen conexiones profundas entre las funciones L, las formas automorfas, las curvas elípticas (que también son importantes en la criptografía) y la teoría de la representación. La conexión probada más famosa es Monstrous moonshine, que proporciona una conexión entre el grupo de monstruos y las formas modulares. Hay conexiones conjeturales entre esto y la gravedad cuántica: no sé lo suficiente de física para hablar de esto de manera significativa, pero quizás esto no debería ser tan sorprendente, ya que la teoría de la representación es muy importante para la teoría del campo cuántico.

Existen otras conexiones conjeturales, muchas de ellas agrupadas bajo el programa Langlands, algunas de las cuales han demostrado y otras no. Si pudiéramos averiguar exactamente cuáles son todas estas conexiones, tendríamos una mejor comprensión de lo que realmente son las funciones L, qué hacen las formas automorfas y cómo todo esto se relaciona con la teoría de la representación. Todos estos son resultados altamente deseables.

Las cigarras a menudo tienen ciclos de latencia que son números primos. Esto minimiza el número de emergencias superpuestas con depredadores.

La historia de amor de la cigarra con números primos – The New Yorker

Sin embargo, los números primos solo se pueden dividir entre ellos y uno; no pueden dividirse equitativamente en enteros más pequeños. Las cigarras que surgen en intervalos de años con números primos, como el Brood II de diecisiete años que plagará la costa este, se encontrarán relativamente inmunes a los ciclos de población de depredadores, ya que es matemáticamente improbable que exista un depredador de ciclo corto en el mismo ciclo. En el ejemplo de Gould, una cigarra que emerge cada diecisiete años y tiene un depredador con un ciclo de vida de cinco años solo enfrentará una población máxima de depredadores una vez cada ochenta y cinco (5 x 17) años, dándole una enorme ventaja sobre menos bien. Cigarras adaptadas.

Me gustaría agregar que los números primos son reconocidos por el Teorema fundamental de la aritmética como los bloques de construcción (átomos) de la multiplicación de enteros.

“En la teoría de números, el teorema fundamental de la aritmética establece que cada número entero mayor que 1 es primo en sí mismo o es producto de números primos, y que este producto es único, hasta el orden de los factores”.