¿Los matemáticos todavía usan matemáticas y reglas básicas en sus trabajos matemáticos avanzados?

Answer 1

Las cosas de las matemáticas de la escuela secundaria llegan en diversos grados al crear nuevas matemáticas. Las reglas de registro son bastante fundamentales, pero las identidades trigonométricas probablemente se pueden olvidar y buscar (o volver a generar) si es necesario. Sin embargo, los matemáticos no escriben pruebas de dos columnas como lo hacen los estudiantes de geometría.

Sin embargo, una cosa interesante que los matemáticos a veces hacen es pensar en contextos donde ciertas reglas básicas no se aplican. Por ejemplo, mi disertación fue en teoría de probabilidad no conmutativa. Esa palabra “no conmutativo” significa que trabajé en entornos donde la ley conmutativa de multiplicación [matemática] X \ cdot Y = Y \ cdot X [/ matemática] no necesita aplicarse.

Para ser claros, incluso un teórico de probabilidad no conmutativo acepta el hecho de que, por ejemplo, [math] 2 \ cdot3 = 3 \ cdot2 [/ math]. La multiplicación de números reales siempre será conmutativa. Eso es parte de cómo los matemáticos definen los números reales.

El punto clave es que la ley conmutativa no es realmente una ley universal, sino una propiedad de ciertas estructuras, incluidos los números reales. Podemos considerar otras estructuras, como [math] n \ times n [/ math] matrices (para [math] n> 1 [/ math]) con entradas complejas, que tienen una operación de multiplicación que no es conmutativa. Por ejemplo, si tenemos las matrices [matemáticas] A = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] B = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix } [/ math], entonces encontramos que [math] AB = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] pero [math] BA = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math].

Un teórico de probabilidad no conmutativo elige sus “variables aleatorias” como elementos de estructuras (como las matrices cuadradas) para las cuales la ley conmutativa de la multiplicación no necesita sostenerse. Entonces pueden preguntar qué resultados de la teoría de probabilidad tienen en este contexto. Quizás sorprendentemente, resulta que muchos resultados en la teoría de probabilidad clásica, en particular el Teorema del límite central, encuentran análogos en el mundo no conmutativo.

Answer 2

Cualquier sistema matemático tiene reglas básicas y una prueba siempre dependerá de ellas, porque tiene que hacerlo. (Así es como funcionan las matemáticas … algo solo es cierto si se puede probar a partir de las reglas o axiomas con los que comienzas). Para algunas áreas más avanzadas de las matemáticas, como decir teoría de categorías o topología, las reglas pueden ser muy diferentes de las reglas que aprendes en la escuela primaria. Pero para otros, trabajará con cosas muy familiares como polinomios y números complejos y reales. Cuando investigué en geometría algebraica, una de las pruebas que hice se redujo a factorizar un polinomio multivariable. Por lo tanto, un estudiante de secundaria probablemente no hubiera podido entender la afirmación que estaba probando, pero habría podido entender un paso clave en la prueba, que era solo factorizar algo.

Answer 3

Bueno, me gustaría responder a esta pregunta por una razón para enfatizar la diferencia plausible entre las palabras ‘básico’ y ‘fundamental’. Esta pregunta aquí pide abordar esa sutileza.

La pregunta se refiere al uso de reglas “básicas” de matemáticas en matemáticas “avanzadas”. Aquí tenemos que observar que las cosas que se nos enseñan en la escuela, aunque se consideran “básicas”, se ha realizado una gran cantidad de trabajo “avanzado” para que esas reglas básicas existan. A medida que avanzamos a grados más altos para estudiar aspectos más profundos de los temas, nos damos cuenta de que lo que nos enseñaron, aunque son correctos, es solo el pequeño resultado final superficial de una gran filosofía matemática detrás de esto. La fórmula habría parecido simple, pero la valoraríamos una vez que conozcamos su formulación real.

Bien llegando a la pregunta, creo que todas las matemáticas avanzadas que utilizamos se basan esencialmente en las fórmulas fundamentales, no en las fórmulas básicas. Porque, según yo, las fórmulas básicas, aunque correctas, son las que están en una forma simple o más bien un caso especial pero no generalizado.

Por otro lado, me gustaría considerar las fórmulas fundamentales como las que originan la definición misma de las fórmulas, es decir, se construye desde cero utilizando los primeros principios. Estos dan lugar a las fórmulas más generalizadas. Y estos son los que las matemáticas, por mucho que avancen, no pueden prescindir. Los temas matemáticos avanzados como, geometría diferencial, topología, geometría algebraica, álgebra no conmutativa, ED de orden superior, técnicas de optimización … etc. son temas que se construyen desde cero por definición real de cosas muy básicas como la distancia entre 2 puntos … etc. .

Por lo tanto, creo que un buen matemático siempre relacionaría las definiciones de un nuevo tema matemático avanzado con sus formalismos fundamentales que forman la base de cualquier tema (y sí, nadie que hiciera una matemática avanzada habría olvidado cualquier tema fundamental a menos que lo encuentre). no es necesario en el tema actual en el que está trabajando).

Answer 4

La respuesta corta es sí. Todavía expresamos muchos de nuestros resultados en términos de ecuaciones algebraicas, por lo que aún terminas usando muchos de los trucos que aprendiste como estudiante de secundaria.

Más importante aún, la intuición que construye a partir de los casos que ya comprende juega con su comprensión de las situaciones que puede ser el primero en explorar. Por ejemplo, la idea con la que estoy más feliz de mi tesis doctoral fue un “teorema de homogeneidad relativa”. ¿Qué significa homogeneidad? Bueno, un polinomio homogéneo es un polinomio cuyos términos son del mismo grado. Un par de ejemplos sería x ^ 2 + y ^ 2 o x ^ 3 + xy ^ 2, mientras que un no ejemplo sería x ^ 2 + y. Aprendí cuál era el “grado de un término de un polinomio” en sexto grado. Muchas de mis ideas construidas sobre polinomios homogéneos en realidad se aplicaron en el entorno extraño que estaba explorando, lo que me permitió hacer algo original.

Answer 5

Sí, incluso en matemáticas de alto nivel se aplican las reglas elementales básicas de matemática inferior. No necesita buscar más allá de un libro de búsqueda matemática avanzada para ver que piensa como ecuaciones diferenciales en tres variables y los modelos estocásticos todavía utilizan operaciones básicas. Crecer con un padrino que enseñó Ph.D. nivel matemático en UC Berkeley, aprendí mucho sobre matemáticas superiores. Lo que pasa con las matemáticas de alto nivel es que eventualmente abandona los números y se convierte puramente en variables y en una cuestión de validar pruebas y postulados.

Answer 6

Santa vaca, hermano. Estás totalmente en punto aquí.

Tengo una licenciatura en matemáticas y estoy a punto de comenzar a trabajar para obtener un título de posgrado en matemáticas. No he usado álgebra, geometría, trigonometría o cálculo en mi investigación. Cuando encuentro problemas en quora en los que quiero ayudar, a menudo necesito buscar una vieja regla que no puedo recordar.

Historia divertida: en realidad solicité ser tutor de matemáticas, pero no conseguí el trabajo porque en el examen no podía recordar un truco para hacer una parte integral. Realmente me revolví el cerebro tratando de recordar eso, pero al final no podía hacerlo sin mirarlo.

Honestamente, la única razón para hacer todas esas matemáticas es para hacer ejercicio mental. Acelera el cerebro para pensar de manera estructural. Todo eso es una pequeña porción de las matemáticas, es tentador decir que no es matemática lo que aprendimos en la escuela.

Sin mencionar el hecho obvio de que todas las matemáticas que aprendimos son casi completamente inútiles hoy en día. Aprendiste a hacer lo que una computadora puede hacer más rápido que nunca. Prácticamente una pérdida de tiempo.

Quiero decir, es bueno saber cómo hacer álgebra porque te verías como un imbécil si no lo hicieras. Lo que hace que las matemáticas sean increíbles es lo que las computadoras no pueden hacer, pero solo los humanos pueden hacer.

Answer 7

La respuesta a este problema depende bastante del campo, es decir, algunos campos de las matemáticas pueden depender más del álgebra básica y las funciones especiales.

Existe una técnica para analizar discretizaciones de ecuaciones diferenciales parciales llamada análisis de von Neumann. Es esencialmente un análisis discreto de Fourier y puede usarse para determinar tanto los criterios de estabilidad de los esquemas como para analizar sus propiedades, por ejemplo, calculando relaciones de dispersión discretas. Sin fluidez en las identidades y propiedades exponenciales y trigonométricas, este tipo de análisis es imposible.

En términos de declaraciones más generales, las matemáticas siempre me han parecido acumulativas. Siempre estamos tratando de aplicar alguna técnica simple (es decir, geometría o trigonométrica o reglas exponenciales) a una situación más compleja (como la optimización en espacios funcionales o la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales).

Este tipo de afirmación también es cierta sobre las técnicas aprendidas en los cursos de pregrado de matemáticas. Necesito el cálculo vectorial y el álgebra lineal que aprendí todo el tiempo en mi investigación, pero no la teoría combinatoria o de grupo. Pregúntele a un matemático diferente y tendrá una respuesta diferente.

Entonces eso depende. En mi experiencia, la gente parece hacer una investigación que utiliza técnicas que les gustan, entienden y encuentran interesantes.

Answer 8

Por supuesto que lo hacen. Todas las operaciones elementales de suma, multiplicación, deducción lógica, inducción, integración, sustitución, reagrupación, cambio del orden de suma, descarte de términos insignificantes, establecimiento de límites, subdivisión, etc., son las herramientas básicas de las que se obtienen resultados avanzados. .

Answer 9

Un estudiante de matemáticas superior generalmente usa resultados básicos sin cuestionarlos demasiado. Si se presiona, un estudiante avanzado puede probarlos a partir de axiomas o suposiciones. Su necesidad es la misma que recordar palabras en un documento.

Answer 10

El primer curso que enseñé cuando comencé a enseñar matemáticas en la universidad comunitaria fue prealgebra. Este era un trabajo que requería una maestría en matemáticas. Terminé teniendo que volver a enseñarme una división larga. Volvió rápidamente pero no había hecho aritmética a mano en años.