¿Podemos elegir un número entero ‘al azar’?

Answer 1

Como Alan Bustany y Michael Lamar respondieron a esta pregunta maravillosamente, daré la respuesta de un laico.

En el sentido de si puede elegir un entero positivo al azar para que cada entero positivo tenga la misma probabilidad de ser elegido, la respuesta es no.

¿Como lo harias? Ciertamente puede elegir los dígitos del 0 al 9 al azar. Por ejemplo, usted llama tirar un dado justo de 10 lados. Aún mejor, use algún proceso cuántico que sea teóricamente imposible de predecir.

Pero solo puede elegir un número finito de dígitos. Entonces, incluso si generó un entero aleatorio de 1 billón de dígitos, todavía hay un número infinito de enteros mayores que este.

Por lo tanto, es imposible elegir un número entero al azar para que cada número entero tenga la misma probabilidad de ser elegido.

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Pero, tenga la seguridad de que puede elegir un número entero de cualquier longitud, N, al azar. Eso debería hacerte feliz.

Answer 2

Para agregar a la excelente respuesta de Alan Bustany, hay muchos problemas para los cuales es útil considerar algo así como el límite, ya que N llega al infinito de la probabilidad de que un entero entre 1 y N, elegido de manera uniforme, tenga alguna propiedad. Por ejemplo, el límite de que un entero elegido de esta manera es primo resulta ser cero. Y el límite de que un par de enteros elegidos de esta manera (independientemente) son coprimos resulta ser 6 dividido por el cuadrado de pi.

En ese contexto, es común que las personas digan algo como “¿Cuál es la probabilidad de que un entero positivo elegido al azar sea primo?” Pero lo que realmente quieren decir es considerar exactamente este tipo de procedimiento limitante. Sin considerar el límite, no es posible dar sentido a la distribución de probabilidad uniforme subyacente.

Answer 3

Sí , puede elegir un número entero “al azar” de cualquier distribución de probabilidad en el conjunto de números enteros, [math] \ mathbb Z [/ math]. Sin embargo, tenga en cuenta que no existe una distribución de probabilidad uniforme en [math] \ mathbb Z [/ math]. Aunque, por supuesto, puede elegir un número entero uniformemente de la colección finita en cualquier intervalo acotado en [math] \ mathbb Z [/ math].

La gente a menudo (de manera imprecisa) usa “al azar” para significar seleccionar algo de una distribución de probabilidad uniforme para que cada selección posible tenga la misma probabilidad. No puede hacer esto en [math] \ mathbb Z [/ math], en parte porque es infinito, pero también porque es un conjunto discreto en lugar de continuo (con la métrica habitual).

Puede tener una distribución de probabilidad uniforme en el conjunto infinitamente infinito de Reales en un intervalo finito como [matemática] [0,1] [/ matemática]. La métrica estándar en los Reals permite definir una integral de una función de densidad de probabilidad. La probabilidad de cualquier real dado, o incluso cualquier conjunto dado de medida cero, como los Racionales, es cero para la distribución de probabilidad uniforme en este rango.

Answer 4

Esto me recuerda el ejemplo de que usted y otra persona tienen cantidades de dinero al azar en su billetera. Un tercero echa un vistazo a ambas billeteras, sin saber cuál pertenece a quién, y le dice que la otra persona tiene, con una probabilidad del 50/50 de duplicar lo que tiene o la mitad de lo que tiene. Tiene la opción de intercambiar billeteras, ¿qué debe hacer? Su primer análisis podría ser que puede ganar n dólares o perder 1/2 n dólares, ¿entonces es obvio que debe cambiar? Pero a la otra persona también se le dice lo mismo, por lo que piensan que también deberían intercambiar.

La verdadera respuesta a esta pregunta es que no existe un número entero aleatorio, o tal vez sí, el número entero aleatorio es infinito. Creo que esa es la respuesta a la pregunta en el título.