¿Cuál es el resto cuando 123456789 …………… ..424344 se divide por 45?

Answer 1

Respuesta: 9

Explicación:

Dividendo D = 12345678910… ..424344
Divisor d = 45 = 9 * 5

Comprobación de divisibilidad por 9

D = 12345678910… ..424344
(Total de dígitos en D = 9 números * 1 dígito cada uno + 35 números * 2 dígitos cada uno = 79 dígitos)
Por lo tanto, D puede escribirse como
D = 1 * 10 ^ 78 + 2 * 10 ^ 77 + 3 * 10 ^ 76… + 10 * 10 ^ 68 + 11 * 10 ^ 66… + 43 * 10 ^ 2 + 44 * 10 ^ 0

Ahora, cada potencia de 10 nos dará un resto de ‘1’
Por lo tanto, D / 9 dará el resto como (1 + 2 + 3 +… + 43 + 44) / 9
Usando la fórmula para la suma de los primeros n números naturales, es decir, n (n + 1) / 2
44 (44 + 1) / 2 = 22 * ​​45 = 990

Por lo tanto, D / 9 es igual que 990/9 que da el resto como ‘cero’.

Comprobando la divisibilidad por 5

Para ser completamente divisible por ‘5’, el último dígito debe ser ‘0’ o ‘5’.
D es (0 + 4 o 5–1 en el lugar de la unidad) Por lo tanto, D / 9 nos da un resto de ‘4’ (o ‘-1’)
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D puede escribirse como
D = 9a
o D = 5b + 4

Al sustituir a = 0,1,2,…
conseguimos que D sea 0, 9 , 18, 27, 36, 45, 54 , 63, 72, 81, 90, 99 , …
Entre estos solo 9,54,99, … son de la forma (5b + 4)

D = 9 cuando a = 1
D = 54 cuando a = 6
D = 99 cuando a = 11 y así sucesivamente …

a = 1, 6, 11, … es un AP con diferencia común como ‘5’
con cada término de la forma (5k + 1) donde k es 0,1,2,…

Por lo tanto D = 9a = 9 (5k + 1)
= 45k + 9

Entonces, D / 45 será igual a (45k +1) / 45 cuyo resto será igual a
Rem | 45k / 45 | + Rem | 9/45 |
= 0 + 9

Por lo tanto, D / d da el resto como 9.

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Answer 2

Como sabemos, cuando un número o su suma digital se divide por 9, el resto permanece igual. Por ejemplo, cuando 1234 se divide por 9, el resto es 1, también 1 + 2 + 3 + 4 da el resto 1 cuando se divide entre 9, y 12 + 34 también da el mismo resto. Usando este hecho, podemos encontrar fácilmente el resto cuando 1234 .. … 4344 se divide por 9.

1 + 2 + 3 +… ..… + 43 + 44 = (44 * 45) / 2 = 990, por lo tanto, el resto de 9 es 0.

Dado que 45 = 9 * 5, también necesitamos encontrar el resto de 5, que es 4.

Entonces el resto cuando 1234 …… .4344 se divide por 45 es R ,

donde R = 9 a = 5 b + 4, el número más pequeño es 9. Por lo tanto, el resto es 9.

Answer 3

Deje [matemáticas] H = 12345..424344; [/ matemáticas]

Tenemos [matemáticas] 45 = 9 * 5; [/ matemáticas]

Podemos ver claramente que [math] H / 5 [/ math] deja un resto de 4. (Como todos los múltiplos de 5 tienen un [math] 0 [/ math] o [math] 5 [/ math] como último dígito.)

En cuanto a [math] 9, [/ math] como Manikanta Devasish ha demostrado, [math] H [/ math] es divisible por [math] 9. [/ Math]

Esencialmente, podemos restar cualquier múltiplo de [math] 9 [/ math] de [math] H [/ math] y seguirá siendo divisible por [math] 9. [/ Math]

Por lo tanto, el objetivo es restar de [matemáticas] H [/ matemáticas] un múltiplo de [matemáticas] 9 [/ matemáticas]; tal que el nuevo número [math] H ‘[/ math] así creado es divisible por [math] 5 [/ math].

Afortunadamente, [matemáticas] 44-9 = 35 [/ matemáticas].

Ahora, [math] H ‘= [/mathfont>[mathfont>(H-9)[/mathfont>[mathfont>=12345…4335.[/math]

[math] H ‘[/ math] termina con un [math] 5; [/ math] por lo tanto, es divisible por [math] 5. [/ math]

Suma de los términos de [math] H ‘= (990 – 9) = 981 [/ math], que es divisible por [math] 9. [/ Math] Así [math] H’ [/ math] es divisible por [ matemáticas] 9 [/ matemáticas] también.

Por lo tanto, [math] H ‘[/ math] es divisible por [math] 45. [/ Math]

Finalmente, [matemáticas] H = H ‘+ 9; [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 [/ matemáticas] es el resto.

Answer 4

Estudie el concepto de suma de dígitos. Podrá resolver problemas similares más rápido. Espero que esto ayude 🙂