¿Cuál es mayor [matemática] 0.999 … 999, o, 0.999 … 998 [/ matemática], donde los puntos [matemática] … [/ matemática] representan dígitos interminables de 9s (incluidos los dígitos aparentes)?

Una ramita más en la pila: lo … que intentas definir como [matemáticas] 0.9 \ dots98 [/ matemáticas], donde los puntos representan infinitamente muchas [matemáticas] 9 [/ matemáticas] s, no es un número en el sentido habitual , por razones que otros han explicado más que adecuadamente. Debido a eso, la pregunta no está bien definida, por lo que no hay respuesta (aparte de explicar eso y por qué la pregunta no está bien definida). También podría preguntar, “¿cuál es más grande: azul o un palo?” Suponiendo los significados normales de cada uno de los términos en la pregunta, es imposible dar una respuesta significativa.

Su mejor apuesta para comprender los problemas aquí, como he explicado en una discusión de comentarios con usted antes, es dejar de pensar que sabe lo suficiente como para descubrir contradicciones aparentes (aunque haga estas preguntas con el objetivo de comprender las sutilezas de sus respuestas, o por qué no formulan preguntas significativas, ciertamente está bien) que revelan que las matemáticas son mágicas / fraudulentas / contradictorias / etc. En cambio, tome la pista para aprender de aquellos que han obtenido calificaciones en el tema. Tal vez sea difícil si crees que se necesita comprar una mentira para obtener tales calificaciones, ¡pero ese es tu problema, no el mío!

A2A. He rechazado esta pregunta, la he informado como “Pregunta insincera: pregunta que no busca respuestas reales”. (“La intención principal de una pregunta debe ser obtener información, no discutir un punto o hacer una declaración”, algunas de sus respuestas aquí indican que solo desea construir una plataforma para discutir sus ideas de mascotas en lugar de aprender).

En respuesta a: ” ¿Cuál es mayor [matemáticas] 0.999 … 999, o, 0.999 … 998 [/ matemáticas], donde los puntos [matemáticas] … [/ matemáticas] representan infinitos dígitos de 9 (incluidos los dígitos aparentes)? “:

Tampoco son incomparables. Uno es una representación (pobre) de un número (específicamente, el número 1: una mejor representación es [matemática] 0.999… [/ matemática]), y el otro es una construcción imposible. Un número real es comparable (en el sentido de, menor que, igual o mayor que) con otro número real. Un número no es comparable con algo que no se puede describir de manera coherente.

La expresión representa un número infinito de 9 que toman el lugar de los puntos. Entonces, aunque a primera vista 0.999 … ..9 parece mayor que 0.999 … .8 el hecho es que el último dígito nunca se alcanza (la posición decimal de los últimos 9 y 8 nunca se alcanza). A medida que exprimimos más y más 9 en los puntos, vemos que la diferencia entre ellos disminuye y ambos alcanzan un valor más cercano. Entonces, si realmente tuviéramos un número infinito de 9 tomando el lugar, entonces el último dígito sería insignificante.

[matemáticas] 0.999… [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.999… 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0.999… 78342 [/ matemáticas]

o cualquier otro número que tenga un número infinito de 9 después del punto decimal tendría el mismo valor.

De hecho

[matemáticas] 0.999 … 8 … 4 [/ matemáticas]

donde el primer conjunto de puntos está ocupado por un número infinito de 9 y el segundo conjunto por un número infinito de 8 también tendría el mismo valor que [math] 9.999 … [/ math]

Esto se debe a que el 8 en la primera expresión no se alcanza en la expresión ya que hay un número infinito de 9, por lo que todos los 8 que ocupan la posición después de él también seguirán siendo insignificantes, ya que hay un número infinito de 9.

Aplicarlo al concepto utilizado en las escuelas para enseñar el valor del infinito sería como caminar en una cuerda que es perpendicular a la gravedad que se extiende hacia el infinito, donde es perpendicular a la gravedad en todos los puntos y hay infinitos puntos a cada lado perpendiculares a la gravedad. . Sin embargo, después de un número infinito de tales puntos, tenemos una posición inclinada en un ángulo de 60 grados con la gravedad que se extiende aún más hasta el infinito allí. Lo importante aquí es la posición de comenzar el viaje. Si comienza en el punto donde es perpendicular, la cantidad que se mueva será perpendicular. Por otro lado, si comienzas en cualquier posición que esté a 60 grados, siempre permanecerá a 60 grados.

Entonces, con respecto al origen 0, cualquiera que sea la posición más cercana que tenga un número infinito de un número particular, seguirá siendo significativa, mientras que todos los demás puntos serán insignificantes. Esto se debe a que cuando se atraviesa desde 0 y hasta los decimales, los 9 nunca terminan y, por lo tanto, los otros dígitos que pueden estar al final son insignificantes, ya que ese final nunca se alcanzaría.

En las construcciones convencionales de los números reales tenemos Dedekind Cuts [1], que son simplemente una partición de los números racionales (y, por extensión, otros números reales también) en aquellos mayores y menores que un valor. Por ejemplo, para dar un ejemplo:

0.7,0.67,0.667,0.667,0.6667,…

Tenga en cuenta que cada elemento de la lista es un número decimal simple con un número finito de dígitos y que todas las entradas son mayores que mi valor previsto, a veces escrito

0.6666666….

La secuencia limitante nunca es única. En particular, puede acercarse al valor límite desde arriba o abajo.


Quizás lo que está buscando es el Análisis no estándar de Abraham Robinson [2], que asigna significados a números infinitamente cercanos a los números reales estándar, conocidos como números hiperrealistas, y se ha escrito un libro de texto de cálculo que usa números hiperrealistas y está disponible gratuitamente en línea.


Sin embargo, en ninguno de estos recursos se asigna un significado a 0.999… 998. El símbolo … es una abreviatura convencional para una secuencia infinita de valores. Si interpretas que significa 0.999 9 998, 0.999 99 998, 0.999 999 9998, … (donde he introducido espacios en la representación decimal para mayor claridad) y coloco el mío … al final para mostrar que la secuencia continúa indefinidamente, entonces es fácil ver los siguientes hechos

  • cada elemento de la secuencia es mayor que el anterior
  • cada elemento es menor que 1
  • la secuencia se acerca arbitrariamente a 1

Esto es lo que significa decir que el límite es 1, igual que la secuencia más convencional 0.999 …

Entonces recuerde que los cortes de Dekekind no son únicos . Y acabamos de ver 2 de ellos por 1 Pero eso no hace que los límites sean distintos.

Notas al pie

[1] Corte Dedekind

[2] Análisis no estándar

0.999 … .98 no describe un número, porque 9, 9, 9, … 9, 8 no describe una secuencia.

Una secuencia es algo con un primer término, un segundo término, un tercer término, etc. Cada término en la secuencia tiene una posición finita. Cuando escribimos 0.9999 …, hemos descrito una secuencia de dígitos donde el primer término es un 9, y también el segundo, y el tercero, y así sucesivamente. No hay un “último dígito” que sea un nueve, y no hay dos nueves en la secuencia que tengan un número infinito de nueves entre ellos.

Cuando escribe 0.999 … 98, esto no describe una secuencia de dígitos. Recuerde, cada dígito debe estar en una posición finita particular. ¿Pero en qué posición están los ocho?

Ahora, por otro lado, mientras 0.999 … 98 no es significativo en notación matemática estándar, tal vez se podría decir que está destinado a indicar el límite de la secuencia

0.8, 0.98, 0.998, 0.9998, 0.99998,…

Si eso es lo que entendemos que significa esta notación, entonces de hecho es igual a 0.9999 …, aunque sería más común llamar a este número por su nombre más común, “uno”.

Esta pregunta no tiene sentido: en particular, la cantidad [matemática] 0.999… 98 [/ matemática]. Dices que los puntos representan una secuencia interminable de [matemáticas] 9 [/ matemáticas] y, sin embargo, los [matemáticas] 9 [/ matemáticas] terminan claramente porque el número termina con un [matemáticas] 8 [/ matemáticas].

Debe decidir si su número tiene una secuencia interminable de dígitos o no. Un número que termina con el dígito “8” o termina con el dígito “9” no es, por supuesto, un número que tenga una secuencia interminable de dígitos, porque como puede ver claramente, en su ejemplo, hay una secuencia de dígitos que terminan. Por supuesto, va a tener una contradicción si su secuencia de dígitos termina pero quiere llamarla interminable, pero eso no molesta a los matemáticos, ya que describen las cosas de manera más consistente.

Los números no tienen sentido.

Empiezas a incursionar en el arte negro del infinito, donde uno no puede estar seguro de qué infinito se le pregunta.

Usted sabe que cualquier secuencia aleatoria de decimales pertenece a un conjunto B10, que es un subconjunto de Q, que es un subconjunto de Y / Z, que es un subconjunto de R. Cada uno de los superconjuntos tiene elementos que forman parte del subconjunto .

También es un adagio que si tienes contradicciones, entonces la lógica es incorrecta. El infinito es completamente sin contradicciones.

¿Cómo puede tener sentido 0.99… ..8 si la cadena de nueves es interminable ? Agregar un ocho al final requiere un final. En cualquier tipo de matemática normal, los dos son, en el mejor de los casos, completamente idénticos.

Una forma de pensarlo es como el límite de dos secuencias. Estás comparando la secuencia (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,… 0.999… 9) y (0.8, 0.98, 0.998, 0.9998… 0.999… 8). El enésimo término de cualquiera se puede escribir [matemáticas] a_n = 1-10 ^ {- n} [/ matemáticas] y [matemáticas] b_n = 1-2 \ veces10 ^ {- n} [/ matemáticas] respectivamente. Como [math] \ lim_ {n \ to \ infty} {2 \ times10 ^ {- n}} = 2 \ times \ lim_ {n \ to \ infty} {10 ^ {- n}} = 0 [/ math] Ambos son iguales a uno.

Es posible que exista algún argumento sobre la teoría de los infinitesimales, que se ha resucitado en el siglo pasado, pero no podría decirlo de ninguna manera

En resumen, la respuesta es hacer preguntas más cuidadosas, lo cual no es poca cosa. Las matemáticas son, en gran medida, el arte de hacer buenas preguntas.

Ok, el problema con la pregunta es, como han dicho otros, que [matemáticas] 0.999… 98 [/ matemáticas] no está bien definido. Ahora, si procediera a nombrar los dígitos de [matemáticas] 0.999 … 98 [/ matemáticas], iría: 9, 9, 9, 9, 9, 9, …
Pero cada vez que diga 9, el siguiente dígito será 9, ya que, según su definición, hay dígitos interminables de 9. Entonces, ¿dirás alguna vez el dígito 8? ¡NO!
Por lo tanto, el número [matemáticas] 0.999..98 [/ matemáticas] no tiene ningún sentido.

“0.999 … 998” no está definido. No es un número real, y no tiene sentido como un objeto.

Si tomas el límite de las secuencias 0.98, 0.998, 0.9998, … entonces terminas con 1.

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