Las otras respuestas aquí son correctas, pero me gustaría señalar algo genial. [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es un polinomio muy especial en que [matemática] x ^ 2 + 1 = 0 \ Rightarrow x ^ 2 = -1 \ Rightarrow x = \ pm i. [/ math] Esto la pregunta es equivalente a preguntar en los números complejos, ¿qué es [matemáticas] i ^ 4-2i ^ 3 + i ^ 2? [/ matemáticas] Si conoce sus poderes de [matemáticas] i [/ matemáticas], esto simplemente se simplifica a [matemáticas] 1-2 (-i) -1 = 2i [/ matemáticas]. Ahora simplemente reemplace [matemáticas] i [/ matemáticas] con [matemáticas] x [/ matemáticas] y la respuesta es [matemáticas] 2x [/ matemáticas].
¿Esto siempre funciona? Bueno, lo hace cuando quieres permanecer cuando se divide por el muy especial [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Esto se debe a que si tomas el anillo de todos los polinomios [matemática] p [x] [/ matemática] y tomas el módulo del anillo de cociente el ideal [matemático] (x ^ 2 + 1) [/ matemático], entonces obtienes [matemático ] p [x] / (x ^ 2 + 1) \ cong \ mathbb {C} [/ math]. Que garabatos es igual significa “isomorfo a”. Básicamente, hacer cualquier matemática con restos después de dividir los polinomios por [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es idéntico a hacer esa matemática en los números complejos. Simplemente reemplace [math] i [/ math] con [math] x [/ math] y obtendrá el resto.
Nota: esto no funciona cuando no está dividiendo entre [matemáticas] x ^ 2 + 1. [/ matemáticas] Para una división más general, generalmente es mejor usar una división larga polinómica como lo hizo la respuesta proporcionada por Shai.
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