Cuando [math] x ^ 4 – 2x ^ 3 + x ^ 2 [/ math] se divide por [math] x ^ 2 + 1 [/ math], ¿cuál es el resto?

Las otras respuestas aquí son correctas, pero me gustaría señalar algo genial. [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es un polinomio muy especial en que [matemática] x ^ 2 + 1 = 0 \ Rightarrow x ^ 2 = -1 \ Rightarrow x = \ pm i. [/ math] Esto la pregunta es equivalente a preguntar en los números complejos, ¿qué es [matemáticas] i ^ 4-2i ^ 3 + i ^ 2? [/ matemáticas] Si conoce sus poderes de [matemáticas] i [/ matemáticas], esto simplemente se simplifica a [matemáticas] 1-2 (-i) -1 = 2i [/ matemáticas]. Ahora simplemente reemplace [matemáticas] i [/ matemáticas] con [matemáticas] x [/ matemáticas] y la respuesta es [matemáticas] 2x [/ matemáticas].

¿Esto siempre funciona? Bueno, lo hace cuando quieres permanecer cuando se divide por el muy especial [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Esto se debe a que si tomas el anillo de todos los polinomios [matemática] p [x] [/ matemática] y tomas el módulo del anillo de cociente el ideal [matemático] (x ^ 2 + 1) [/ matemático], entonces obtienes [matemático ] p [x] / (x ^ 2 + 1) \ cong \ mathbb {C} [/ math]. Que garabatos es igual significa “isomorfo a”. Básicamente, hacer cualquier matemática con restos después de dividir los polinomios por [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es idéntico a hacer esa matemática en los números complejos. Simplemente reemplace [math] i [/ math] con [math] x [/ math] y obtendrá el resto.

Nota: esto no funciona cuando no está dividiendo entre [matemáticas] x ^ 2 + 1. [/ matemáticas] Para una división más general, generalmente es mejor usar una división larga polinómica como lo hizo la respuesta proporcionada por Shai.

Divida los polinomios como dividiría dos enteros, donde cada término en el divisor se trata como un dígito en la división entera. En particular,

[matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] divide [matemática] x ^ 4-2x ^ 3 + x ^ 2 [/ matemática] [matemática] x ^ 2 [/ matemática] veces.

El producto es [matemáticas] x ^ 2 (x ^ 2 + 1) = x ^ 4 + x ^ 2. [/ Matemáticas]

La parte restante del dividendo es [matemática] x ^ 4-2x ^ 3 + x ^ 2 – (x ^ 4 + x ^ 2) = [/ matemática]

[matemáticas] -2x ^ 3. [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] divide [matemática] -2x ^ 3 [/ matemática] [matemática] -2x [/ matemática] veces.

El producto es [matemática] -2x (x ^ 2 + 1) = -2x ^ 3-2x. [/ Matemática]

La parte restante del dividendo es [matemática] – (- 2x) = 2x. [/ Matemática]

[matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] no divide [matemática] 2x. [/ matemática] Por lo tanto, tenemos [matemática] 2x / (x ^ 2 + 1) [/ matemática] sobrante. Por lo tanto, [matemáticas] 2x [/ matemáticas] es el resto.

[matemáticas] x ^ 4-2x ^ 3 + x ^ 2 [/ matemáticas]

, no es perfectamente divisible por [matemáticas] (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]. Si le pedimos a Wolfram Alpha que haga la división larga, lo hace por nosotros. División larga de polinomios División larga de polinomios.

Cociente: [matemáticas] x ^ 2-2x [/ matemáticas]

Resto: [matemática] 2x [/ matemática]

Gracias por el A2A

[matemáticas] \ frac {x ^ 4-2x ^ 3 + x ^ 2} {x ^ 2 + 1} = \ frac {(x ^ 2-2x) (x ^ 2 + 1) + 2x} {x ^ 2 +1} = x ^ 2-2x + \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} [/ math]

Entonces la respuesta es [matemáticas] 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 \ mod x ^ 2 + 1 \ Flecha derecha x ^ 2 = -1 \ mod x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) = 0 \ mod x ^ 2 + 1 \ Rightarrow x ^ 3 = -x \ mod x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 4 – 1 = (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 – 1) = 0 \ mod x ^ 2 + 1 \ Rightarrow x ^ 4 = 1 \ mod x ^ 2 + 1 [/ matemática]

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 4 – 2x ^ 3 + x ^ 2 = 1 – 2 (-x) -1 = 2x \ mod x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el resto es [matemática] 2x [/ matemática].

Ya hay cinco respuestas, pero aún no he visto cuál es, para mí, el método más simple: factorizar reorganizando / sumando / restando términos para presentar [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] x ^ 4–2x ^ 3 + x ^ 2 = x ^ 4 + x ^ 2 -2x ^ 3–2x + 2x = x ^ 2 (x ^ 2 + 1) -2x (x ^ 2 + 1) + 2x [/ matemáticas]

Como los primeros 2 grupos son múltiplos de [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas], el resto es 2x.