¿Es cierto que para todos los enteros [matemáticas] a, b> 3 [/ matemáticas], el poder [matemáticas] a ^ b> b ^ a \ iff b> a [/ matemáticas]? ¿Hay alguna prueba de esto?

Answer 1

Como [math] a, b> 3> \ mathrm {e} [/ math], podemos modificar la proposición de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle a ^ b> b ^ a \ iff b \ ln {a}> a \ ln {b} \ iff \ frac {\ ln {a}} {a}> \ frac {\ ln {b} } {b} [/ matemáticas]

En otras palabras, debemos demostrar que [math] \ displaystyle \ frac {\ ln {x}} {x} [/ math] es una función monotónicamente decreciente para [math] x> 3 [/ math]. Intuitivamente, puede comprender esto si recuerda que [math] x [/ math] crece más rápido que [math] \ ln {x} [/ math]. Se pueden obtener pruebas más rigurosas si diferenciamos [math] \ displaystyle \ frac {\ ln {x}} {x} [/ math] con respecto a [math] x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {\ ln {x}} {x} \ right) = \ frac {1 – \ ln {x }} {x ^ 2} <0 [/ matemáticas].

QED

Por otro lado, no necesitamos tener [matemáticas] a, b> 3 [/ matemáticas]. Incluso [matemáticas] a, b \ geq 3 [/ matemáticas] haría que la proposición sea verdadera. El requisito es que [math] a, b> \ mathrm {e} [/ math].

Answer 2

Sí, es cierto.

Comenzamos con la desigualdad [matemáticas] a ^ b> b ^ a [/ matemáticas].

Luego tome el logaritmo natural de ambos lados para obtener [math] b \ log a> a \ log b [/ math]. Estamos justificados al hacerlo porque la función de registro está aumentando monotónicamente.

Ahora divida ambos lados entre [math] ab [/ math] para obtener [math] \ dfrac {\ log a} {a}> \ dfrac {\ log b} {b} [/ math]. Esto aún conserva la desigualdad ya que tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math] son ​​positivas.

Ahora que hemos separado [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], podemos examinar la función resultante [matemática] f (x) = \ dfrac {\ log x} {x} [/ matemática ]

Aquí hay una gráfica aproximada de esta función que sugiere que está disminuyendo monotónicamente para [matemáticas] x> 3 [/ matemáticas].

Para verificar esta afirmación, encontramos que [math] f ‘(x) = \ dfrac {1- \ log x} {x ^ 2} [/ math]. Entonces, para [math] \ log x> 1 \ implica x> e \ aproximadamente 2.718 [/ math], la derivada es negativa, lo que significa que [math] f (x) [/ math] en realidad está disminuyendo.

Aquí hay una gráfica de la derivada.

Dado que solo nos interesan los valores integrales de [math] a [/ math] y [math] b [/ math] mayores que 3, podemos concluir que [math] \ dfrac {\ log a} {a}> \ dfrac { \ log b} {b} [/ math] implica [math] b> a [/ math].

Esta prueba también es bidireccional ya que todos los pasos se pueden hacer a la inversa si hubiéramos comenzado con la otra desigualdad.