Esta es una respuesta algo técnica y bastante incompleta. El lector interesado puede consultar una Introducción clásica a la teoría moderna de números | Kenneth Irlanda | Springer para detalles de fondo.
Tenga en cuenta que [math] z \ ne 0 [/ math]. Multiplicando por [matemáticas] 2z [/ matemáticas] y simplificando, obtenemos
[matemáticas] (y + 2z) ^ 2 – (2z) x ^ 2 = – (2z-1) \ ldots (\ star) [/ matemáticas]
Observe que [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática] y + 2z = 1 [/ matemática] proporciona una solución integral a la ecuación. [Matemática] (\ estrella) [/ matemática], aunque con [matemática] y [/ math], [math] z [/ math] no son dos enteros positivos .
- Con respecto a los semiprimes Si me conecto y busco todos los números primos conocidos, ¿por qué no podría crear una tabla de referencia de todos los semiprimes conocidos?
- ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los recíprocos de todos los primos gemelos? ¿Qué pasa si los cuadrados se reemplazan por enésimas potencias?
- Para qué valor (es) de [matemática] n [/ matemática] ([matemática] n \ in \ mathbb {N} [/ matemática]) la suma de dígitos en [matemática] n ^ 2 [/ matemática] es igual a [ matemáticas] 51 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el resto cuando [matemática] 9 ^ {101} [/ matemática] se divide por [matemática] 125 [/ matemática]?
- ¿Qué es un filtro de media aritmética?
Para resolver la ecuación [math] (\ star) [/ math], arregle [math] z = z_0 \ ge 1 [/ math] y escriba [math] Y = y + 2z_0 [/ math], [math] X = x [/ matemáticas], [matemáticas] D = 2z_0 [/ matemáticas]. Entonces la ecuación [math] (\ star) [/ math] es
[matemática] Y ^ 2 – DX ^ 2 = – (D-1) \ ldots (\ star \ star) [/ math]
Escriba [matemáticas] D = m ^ 2d [/ matemáticas], con d al cuadrado , y mire la ecuación de Pell
[matemáticas] Y ^ 2 – d (mX) ^ 2 = – (D-1) \ ldots (\ star \ star \ star) [/ math]
Teorema 1. Si [math] d [/ math] es positivo y sin cuadrados , y [math] | N | <\ sqrt {d} [/ math], entonces todas las soluciones en enteros positivos [math] X [/ math], [matemáticas] Y [/ matemáticas] a la ecuación de Pell
[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = N [/ matemáticas]
se puede obtener de los convergentes a [math] \ sqrt {d} [/ math].
Tenga en cuenta que si [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática] son soluciones, entonces [matemática] \ izquierda (\ frac {Y} {X} \ derecha) ^ 2-d = \ frac {N } {X ^ 2} [/ matemáticas]. Entonces, si [matemática] N [/ matemática] es suficientemente pequeña, [matemática] \ izquierda (\ frac {Y} {X} \ derecha) ^ 2 \ aprox. D [/ matemática] y [matemática] \ frac {Y} {X} \ approx \ sqrt {d} [/ math]. Cuando [math] | N | <\ sqrt {d} [/ math], [math] \ left | \ frac {Y} {X} – \ sqrt {d} \ right | <\ frac {1} {2X ^ 2} [/ math], y obliga a [math] \ frac {Y} {X} [/ math] a ser [math] “[/ math] convergente [math]” [/ math] a [math] \ sqrt {d} [/ matemáticas].
Observación. Cuando [math] | N |> \ sqrt {d} [/ math], existe la posibilidad de obtener soluciones en enteros positivos [math] X [/ math], [math] Y [/ math] con [math] \ frac {Y} {X} [/ math] no es convergente a [math] \ sqrt {d} [/ math].
Teorema 2. Deje que [math] d [/ math] sea positivo y sin cuadrados . Existen enteros positivos [matemática] X_0 [/ matemática], [matemática] Y_0 [/ matemática] tal que
[matemáticas] \ grande | Y_0 ^ 2 -dX_0 ^ 2 \ big | = 1 [/ matemáticas].
[matemática] (1) [/ matemática] Si [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = 1 [/ matemática], entonces todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática ] a la ecuación de Pell
[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
están dados por [math] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ n [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math].
La ecuación de Pell
[matemática] Y ^ 2 – dX ^ 2 = -1 [/ matemática]
no tiene solución en enteros.
[matemática] (2) [/ matemática] Si [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = -1 [/ matemática], entonces todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemáticas] a la ecuación de Pell
[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
están dados por [math] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math], [matemáticas] [/ matemáticas]
y todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática] a la ecuación de Pell
[matemática] Y ^ 2 – dX ^ 2 = -1 [/ matemática]
están dados por [matemática] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n-1} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math ]. [matemáticas] [/ matemáticas]
[matemática] (3) [/ matemática] Si [matemática] Y_1 ^ 2-dX_1 ^ 2 = N [/ matemática] y [matemática] \ big (\ overline {X}, \ overline {Y} \ big) [/ math] es cualquier solución en enteros positivos para [math] Y ^ 2-dX ^ 2 = 1 [/ math], entonces
[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = N [/ matemáticas]
para [matemáticas] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_1 + X_1 \ sqrt {d} \ big) \ big (\ overline {Y} + \ overline {X} \ sqrt {d} \ big) [ /matemáticas].
Aplicamos los teoremas [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 2 [/ matemática] para reunir una familia de soluciones a la ecuación [matemática] (\ estrella \ estrella \ estrella) [/ matemática].
Como se señaló anteriormente [math] (X, Y) = (1,1) [/ math] es una solución a la ecuación [math] (\ star \ star \ star) [/ math]. El par [math] “[/ math] fundamental [math]” [/ math] [math] (X_0, Y_0) [/ math] puede obtenerse de la expansión de fracción continua de [math] \ sqrt {d} [/ matemáticas]. El teorema [math] 2 [/ math] ahora da una familia de soluciones en enteros positivos a la ecuación [math] (\ star \ star \ star) [/ math] que toma la forma
[matemáticas] Y + (mX) \ sqrt {d} = \ big (1+ \ sqrt {d} \ big) (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ n [/ matemáticas], [matemáticas] n \ ge 1 [/ matemáticas]
proporcionado [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = 1 [/ matemática], y
[matemática] Y + (mX) \ sqrt {d} = \ big (1+ \ sqrt {d} \ big) (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ matemáticas]
proporcionado [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = -1 [/ matemática].
Ilustración 1. [matemática] (z_0 = 1) [/ matemática] [matemática] D = d = 2 [/ matemática], [matemática] m = 1 [/ matemática] y la ecuación [matemática] (\ estrella \ estrella \ star) [/ math] es
[matemáticas] Y ^ 2 – 2X ^ 2 = -1 \ ldots (1) [/ matemáticas].
Podemos encontrar todas las soluciones en enteros positivos para esta forma estándar de ecuación de Pell por el teorema [matemática] 2 [/ matemática]. Para encontrar la solución fundamental [matemáticas] (X_0, Y_0) [/ matemáticas], calcule
[matemáticas] \ sqrt {2} = \ big [1, \ overline {2} \ big] = 1 + \ dfrac {1} {2+} \ dfrac {1} {2+} \ dfrac {1} {2 +} \ cdots [/ math]
Los convergentes son [matemática] \ frac {Y} {X} = \ frac {1} {1}, \ frac {3} {2}, \ frac {7} {5}, \ frac {17} {12} , \ ldots [/ math]. Los valores [matemática] Y ^ 2–2X ^ 2 [/ matemática] alternan entre [matemática] +1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática], comenzando con [matemática] -1 [/ matemática]. La solución fundamental es [matemáticas] (X_0, Y_0) = (1,1) [/ matemáticas], por lo que todas las soluciones a la ecuación. [Matemáticas] (1) [/ matemáticas] están dadas por
[matemáticas] Y_ {2n-1} + X_ {2n-1} \ sqrt {2} = \ big (1+ \ sqrt {2} \ big) ^ {2n-1} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ matemáticas].
Como [math] (1+ \ sqrt {2}) ^ 2 = 3 + 2 \ sqrt {2} [/ math], tenemos
[matemáticas] Y_ {2n + 1} + X_ {2n + 1} \ sqrt {2} = \ big (3 + 2 \ sqrt {2} \ big) \ big (Y_ {2n-1} + X_ {2n- 1} \ sqrt {2} \ big) [/ math].
Equiparar partes racionales e irracionales da
[matemáticas] Y_ {2n + 1} = 3Y_ {2n-1} + 4X_ {2n-1}, \ quad X_ {2n + 1} = 2Y_ {2n-1} + 3X_ {2n-1} [/ matemática] .
Comenzando con [matemáticas] (Y_1, X_1) = (1,1) [/ matemáticas], calculamos recursivamente
[matemáticas] (Y_3, X_3) = (7,5) [/ matemáticas], [matemáticas] (Y_5, X_5) = (41,29) [/ matemáticas], [matemáticas] (Y_7, X_7) = (239,169) [/ math], [math] \ ldots [/ math]
Sustituyendo [matemática] y = Y-2z_0 = Y-2 [/ matemática] y [matemática] x = X [/ matemática] da los primeros cuatro pares como
[matemáticas] (y, x) = (-1,1), (5,5), (39,29), (237,169) [/ matemáticas].
Por lo tanto, tenemos las tres primeras soluciones correspondientes a [matemáticas] z = 1: [/ matemáticas] [matemáticas] (x, y, z) = (5,5,1) [/ matemáticas], [matemáticas] (29,39 , 1) [/ matemáticas], [matemáticas] (169,237,1) [/ matemáticas].
Agregaré ilustraciones correspondientes a [matemáticas] z_0 = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_0 = 3 [/ matemáticas] en el futuro.