¿Puedes resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – 1 = 2 (y + z) + \ frac {y ^ 2 -1} {2z} [/ matemáticas] sobre los enteros positivos?

Esta es una respuesta algo técnica y bastante incompleta. El lector interesado puede consultar una Introducción clásica a la teoría moderna de números | Kenneth Irlanda | Springer para detalles de fondo.


Tenga en cuenta que [math] z \ ne 0 [/ math]. Multiplicando por [matemáticas] 2z [/ matemáticas] y simplificando, obtenemos

[matemáticas] (y + 2z) ^ 2 – (2z) x ^ 2 = – (2z-1) \ ldots (\ star) [/ matemáticas]

Observe que [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática] y + 2z = 1 [/ matemática] proporciona una solución integral a la ecuación. [Matemática] (\ estrella) [/ matemática], aunque con [matemática] y [/ math], [math] z [/ math] no son dos enteros positivos .

Para resolver la ecuación [math] (\ star) [/ math], arregle [math] z = z_0 \ ge 1 [/ math] y escriba [math] Y = y + 2z_0 [/ math], [math] X = x [/ matemáticas], [matemáticas] D = 2z_0 [/ matemáticas]. Entonces la ecuación [math] (\ star) [/ math] es

[matemática] Y ^ 2 – DX ^ 2 = – (D-1) \ ldots (\ star \ star) [/ math]

Escriba [matemáticas] D = m ^ 2d [/ matemáticas], con d al cuadrado , y mire la ecuación de Pell

[matemáticas] Y ^ 2 – d (mX) ^ 2 = – (D-1) \ ldots (\ star \ star \ star) [/ math]


Teorema 1. Si [math] d [/ math] es positivo y sin cuadrados , y [math] | N | <\ sqrt {d} [/ math], entonces todas las soluciones en enteros positivos [math] X [/ math], [matemáticas] Y [/ matemáticas] a la ecuación de Pell

[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = N [/ matemáticas]

se puede obtener de los convergentes a [math] \ sqrt {d} [/ math].

Tenga en cuenta que si [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática] son ​​soluciones, entonces [matemática] \ izquierda (\ frac {Y} {X} \ derecha) ^ 2-d = \ frac {N } {X ^ 2} [/ matemáticas]. Entonces, si [matemática] N [/ matemática] es suficientemente pequeña, [matemática] \ izquierda (\ frac {Y} {X} \ derecha) ^ 2 \ aprox. D [/ matemática] y [matemática] \ frac {Y} {X} \ approx \ sqrt {d} [/ math]. Cuando [math] | N | <\ sqrt {d} [/ math], [math] \ left | \ frac {Y} {X} – \ sqrt {d} \ right | <\ frac {1} {2X ^ 2} [/ math], y obliga a [math] \ frac {Y} {X} [/ math] a ser [math] “[/ math] convergente [math]” [/ math] a [math] \ sqrt {d} [/ matemáticas].

Observación. Cuando [math] | N |> \ sqrt {d} [/ math], existe la posibilidad de obtener soluciones en enteros positivos [math] X [/ math], [math] Y [/ math] con [math] \ frac {Y} {X} [/ math] no es convergente a [math] \ sqrt {d} [/ math].

Teorema 2. Deje que [math] d [/ math] sea positivo y sin cuadrados . Existen enteros positivos [matemática] X_0 [/ matemática], [matemática] Y_0 [/ matemática] tal que

[matemáticas] \ grande | Y_0 ^ 2 -dX_0 ^ 2 \ big | = 1 [/ matemáticas].

[matemática] (1) [/ matemática] Si [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = 1 [/ matemática], entonces todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática ] a la ecuación de Pell

[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

están dados por [math] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ n [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math].

La ecuación de Pell

[matemática] Y ^ 2 – dX ^ 2 = -1 [/ matemática]

no tiene solución en enteros.

[matemática] (2) [/ matemática] Si [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = -1 [/ matemática], entonces todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemáticas] a la ecuación de Pell

[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

están dados por [math] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math], [matemáticas] [/ matemáticas]

y todas las soluciones en enteros positivos [matemática] X [/ matemática], [matemática] Y [/ matemática] a la ecuación de Pell

[matemática] Y ^ 2 – dX ^ 2 = -1 [/ matemática]

están dados por [matemática] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n-1} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ math ]. [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemática] (3) [/ matemática] Si [matemática] Y_1 ^ 2-dX_1 ^ 2 = N [/ matemática] y [matemática] \ big (\ overline {X}, \ overline {Y} \ big) [/ math] es cualquier solución en enteros positivos para [math] Y ^ 2-dX ^ 2 = 1 [/ math], entonces

[matemáticas] Y ^ 2 – dX ^ 2 = N [/ matemáticas]

para [matemáticas] Y + X \ sqrt {d} = \ big (Y_1 + X_1 \ sqrt {d} \ big) \ big (\ overline {Y} + \ overline {X} \ sqrt {d} \ big) [ /matemáticas].


Aplicamos los teoremas [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 2 [/ matemática] para reunir una familia de soluciones a la ecuación [matemática] (\ estrella \ estrella \ estrella) [/ matemática].

Como se señaló anteriormente [math] (X, Y) = (1,1) [/ math] es una solución a la ecuación [math] (\ star \ star \ star) [/ math]. El par [math] “[/ math] fundamental [math]” [/ math] [math] (X_0, Y_0) [/ math] puede obtenerse de la expansión de fracción continua de [math] \ sqrt {d} [/ matemáticas]. El teorema [math] 2 [/ math] ahora da una familia de soluciones en enteros positivos a la ecuación [math] (\ star \ star \ star) [/ math] que toma la forma

[matemáticas] Y + (mX) \ sqrt {d} = \ big (1+ \ sqrt {d} \ big) (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ n [/ matemáticas], [matemáticas] n \ ge 1 [/ matemáticas]

proporcionado [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = 1 [/ matemática], y

[matemática] Y + (mX) \ sqrt {d} = \ big (1+ \ sqrt {d} \ big) (Y_0 + X_0 \ sqrt {d} \ big) ^ {2n} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ matemáticas]

proporcionado [matemática] Y_0 ^ 2-dX_0 ^ 2 = -1 [/ matemática].


Ilustración 1. [matemática] (z_0 = 1) [/ matemática] [matemática] D = d = 2 [/ matemática], [matemática] m = 1 [/ matemática] y la ecuación [matemática] (\ estrella \ estrella \ star) [/ math] es

[matemáticas] Y ^ 2 – 2X ^ 2 = -1 \ ldots (1) [/ matemáticas].

Podemos encontrar todas las soluciones en enteros positivos para esta forma estándar de ecuación de Pell por el teorema [matemática] 2 [/ matemática]. Para encontrar la solución fundamental [matemáticas] (X_0, Y_0) [/ matemáticas], calcule

[matemáticas] \ sqrt {2} = \ big [1, \ overline {2} \ big] = 1 + \ dfrac {1} {2+} \ dfrac {1} {2+} \ dfrac {1} {2 +} \ cdots [/ math]

Los convergentes son [matemática] \ frac {Y} {X} = \ frac {1} {1}, \ frac {3} {2}, \ frac {7} {5}, \ frac {17} {12} , \ ldots [/ math]. Los valores [matemática] Y ^ 2–2X ^ 2 [/ matemática] alternan entre [matemática] +1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática], comenzando con [matemática] -1 [/ matemática]. La solución fundamental es [matemáticas] (X_0, Y_0) = (1,1) [/ matemáticas], por lo que todas las soluciones a la ecuación. [Matemáticas] (1) [/ matemáticas] están dadas por

[matemáticas] Y_ {2n-1} + X_ {2n-1} \ sqrt {2} = \ big (1+ \ sqrt {2} \ big) ^ {2n-1} [/ math], [math] n \ ge 1 [/ matemáticas].

Como [math] (1+ \ sqrt {2}) ^ 2 = 3 + 2 \ sqrt {2} [/ math], tenemos

[matemáticas] Y_ {2n + 1} + X_ {2n + 1} \ sqrt {2} = \ big (3 + 2 \ sqrt {2} \ big) \ big (Y_ {2n-1} + X_ {2n- 1} \ sqrt {2} \ big) [/ math].

Equiparar partes racionales e irracionales da

[matemáticas] Y_ {2n + 1} = 3Y_ {2n-1} + 4X_ {2n-1}, \ quad X_ {2n + 1} = 2Y_ {2n-1} + 3X_ {2n-1} [/ matemática] .

Comenzando con [matemáticas] (Y_1, X_1) = (1,1) [/ matemáticas], calculamos recursivamente

[matemáticas] (Y_3, X_3) = (7,5) [/ matemáticas], [matemáticas] (Y_5, X_5) = (41,29) [/ matemáticas], [matemáticas] (Y_7, X_7) = (239,169) [/ math], [math] \ ldots [/ math]

Sustituyendo [matemática] y = Y-2z_0 = Y-2 [/ matemática] y [matemática] x = X [/ matemática] da los primeros cuatro pares como

[matemáticas] (y, x) = (-1,1), (5,5), (39,29), (237,169) [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos las tres primeras soluciones correspondientes a [matemáticas] z = 1: [/ matemáticas] [matemáticas] (x, y, z) = (5,5,1) [/ matemáticas], [matemáticas] (29,39 , 1) [/ matemáticas], [matemáticas] (169,237,1) [/ matemáticas].


Agregaré ilustraciones correspondientes a [matemáticas] z_0 = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_0 = 3 [/ matemáticas] en el futuro.

Afortunadamente, [math] x [/ math] no aparece en más de un lugar. Eso significa que podemos reformular la ecuación como una diofantina cuadrática en ‘y’ y ‘z’:

[matemática] 4z (y + z) + (y ^ 2-1) = 2z (x ^ 2-1) [/ matemática]

[matemáticas] 4z ^ 2 + 4zy + y ^ 2 – 2 (x ^ 2-1) z – 1 = 0 [/ matemáticas]

Puede encontrar métodos generales para resolver esta hipérbola demostrada aquí: https://www.alpertron.com.ar/MET

Ahora, este método es algo complicado (pero puede automatizarse; hay varios paquetes de software disponibles). Veamos si no podemos encontrar una forma más simple. Podemos reescribir la ecuación anterior como:

[matemáticas] (2z + y) ^ 2 = 2z (x ^ 2-1) + 1 [/ matemáticas]

Entonces, cada vez que [math] 2z (x ^ 2-1) + 1 [/ math] es un cuadrado, algún valor entero de y satisfará esta ecuación. Podemos encontrar fácilmente algunos valores triviales de

[matemáticas] n ^ 2 = 2z (x ^ 2-1) + 1 [/ matemáticas]

Digamos que x = 1 nos da n = 1, z arbitraria. Entonces tenemos una familia de soluciones

[matemáticas] x = \ pm 1, y = 1 – 2z [/ matemáticas]

pero esto no produjo enteros positivos.

Digamos que escribimos la ecuación como

[matemáticas] (n + 1) (n-1) = 2z (x + 1) (x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ frac {(n + 1) (n-1)} {2 (x + 1) (x-1)} [/ matemáticas]

Recuerde que [matemática] y = n – 2z [/ matemática], entonces si [matemática] 2z> n [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] será negativa. Es decir, para encontrar un número entero positivo, necesitamos que [math] z [/ math] sea “pequeño” con respecto a [math] n [/ math]. Afortunadamente, las soluciones para valores pequeños de z se encuentran fácilmente (e incluso se parametrizan):

z = 1, x = 5, y = 5

z = 1, x = 29, y = 39

z = 1, x = 169, y = 237

z = 1, x = 985, y = 1391

Enlace de Wolfram Alpha a la solución general: Motor de conocimiento computacional

z = 3, x = 3, y = 1

z = 3, x = 7, y = 11

z = 4, x = 4, y = 3

Desafortunadamente, no puedo parametrizar más las soluciones, pero parece probable que para cualquier z para la que existe * alguna * solución, existan infinitas soluciones.

La ecuación dada es x ^ 2-1 = 2 (y + z) + (y ^ 2-1) / 2z
Expandiendo la ecuación obtenemos
2z (x ^ 2-1) = 4yz + 4z ^ 2 + y ^ 2-1
2x ^ 2z-2z = 4yz + 4z ^ 2 + y ^ 2-1
Reorganizando todos los términos z a un lado obtenemos
2x ^ 2z-2z-4yz-4z ^ 2 = y ^ 2-1
Tomando 2z común en el lado izquierdo
2z (x ^ 2-2y-2z) = y ^ 2-1
Ahora, dadas las condiciones de que todos x, y, z son enteros positivos, consideremos y = 1
Entonces el lado derecho se convierte en 0
Por lo tanto 2z (x ^ 2-2y-2z) = 0
Como ya se supuso y = 1
La ecuación se convierte
2z (x ^ 2-2z-2) = 0
Z no puede ser 0 debido a la condición de que deberíamos considerar todos los enteros positivos
Por lo tanto
X ^ 2-2z-2 = 0
x ^ 2 = 2 + 2z
Entonces z toma todos los valores de 1,7,17,31,49, ……….
Y x toma los valores de 2,4,6,8, ……… para los valores respectivos de z
Y y = 1
Ahora supongamos que y no es igual a 1
Entonces
Z (x ^ 2-2y-z) = (y ^ 2-1) / 2
Dado que x, y, z son todos enteros positivos, claramente el lado izquierdo da un entero pero (y ^ 2-1) / 2 para ser entero y debe ser un número par
Si y es incluso entero
Entonces x no puede ser entero para ningún valor entero de z

More Interesting

¿Es posible tener soluciones [matemáticas] 2 [/ matemáticas] para un sistema lineal de ecuaciones [matemáticas] n [/ matemáticas] e incógnitas [matemáticas] n [/ matemáticas]?

¿Cuál es el significado de ‘Ring of Integers modulo p’?

Dado que 468751 = 5 ^ 8 + 5 ^ 7 + 1 es un producto de dos primos, ¿cuáles son los dos primos?

¿Cuál es la media aritmética de los enteros en el conjunto de todos los enteros [matemática] k [/ matemática], [matemática] 1 \ leq {k} \ leq {n} [/ matemática] tal que [matemática] mcd (k, n) = 1 [/ matemáticas]?

¿Por qué la diferencia entre dos cuadrados de números invertidos (como 18 y 81) siempre es un múltiplo de 9?

¿Cuál es el número de todos los posibles [matemática] k [/ matemática] -tuplas de enteros no negativos [matemática] (n_1, n_2,…, n_k) [/ matemática] tal que [matemática] \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {k} n_i = 100 [/ matemáticas]?

¿Cuál es el número de elementos distintos en el conjunto [matemáticas] \ {(1+ \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n) ^ m: m, n = 1,2,3,… \} [ / math] donde [math] \ omega [/ math] es una raíz cúbica de la unidad?

¿Cuántos pares de enteros (a, b) hay tales que [matemáticas] a ^ b = b ^ a [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 <a <b [/ matemáticas]?

¿Cuál es la mejor aproximación de pi como a / b donde a y b son enteros positivos y a + b <1000?

Cómo demostrar que [matemáticas] B_1 = \ {1, x, x ^ 2 \} [/ matemáticas] es la base de [matemáticas] V [/ matemáticas]