Entonces puedes comprobar eso
[matemáticas] x ^ 8 + x ^ 7 + 1 = (1 + x + x ^ 2) (1-x + x ^ 3-x ^ 4 + x ^ 6) [/ matemáticas]
de lo cual se deduce que
[matemáticas] 5 ^ 8 + 5 ^ 7 + 1 = (1 + 5 + 5 ^ 2) (1 – 5 + 5 ^ 3 – 5 ^ 4 + 5 ^ 6) = 31 \ cdot 15121 [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la media aritmética de los enteros en el conjunto de todos los enteros [matemática] k [/ matemática], [matemática] 1 \ leq {k} \ leq {n} [/ matemática] tal que [matemática] mcd (k, n) = 1 [/ matemáticas]?
- ¿Por qué la diferencia entre dos cuadrados de números invertidos (como 18 y 81) siempre es un múltiplo de 9?
- ¿Cuál es el número de todos los posibles [matemática] k [/ matemática] -tuplas de enteros no negativos [matemática] (n_1, n_2,…, n_k) [/ matemática] tal que [matemática] \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {k} n_i = 100 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el número de elementos distintos en el conjunto [matemáticas] \ {(1+ \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n) ^ m: m, n = 1,2,3,… \} [ / math] donde [math] \ omega [/ math] es una raíz cúbica de la unidad?
- ¿Cuántos pares de enteros (a, b) hay tales que [matemáticas] a ^ b = b ^ a [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 <a <b [/ matemáticas]?
Dicho esto, no tengo idea de cómo se supone que debes detectar el hecho de que [matemáticas] x ^ 8 + x ^ 7 + 1 [/ matemáticas] es reducible.
ACTUALIZACIÓN: Después de la discusión aquí por mí y Sridhar Ramesh y una respuesta más limpia de Will Jagy en Spotting que $ \, x ^ 8 + x ^ 7 + 1 \, $ es reducible., Sé cómo se supone que debes detectarlo ahora . Dado que 0, 7 y 8 representan las tres clases de equivalencia (mod 3), vemos que cualquier raíz de unidad de cubo primitiva es una raíz de [matemáticas] x ^ 8 + x ^ 7 + 1 [/ matemáticas], y entonces es divisible por [matemáticas] \ Phi_3 (x) = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas].