Supongamos que [math] n [/ math] es primo. Entonces todos los números menores que [math] n [/ math] son relativamente primos para él. El promedio de los números de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] n-1 [/ matemática] es [matemática] n / 2, [/ matemática] que se deduce inmediatamente de que es una secuencia aritmética de [matemática] n-1 [/ math] términos, cuya suma es [math] n (n-1) / 2 [/ math].
Ahora suponga que [math] n = p ^ e [/ math] donde [math] p [/ math] es primo. Todos los números, excepto los múltiplos de [matemáticas] p [/ matemáticas] son relativamente primos. ¿Cuál es la suma de todos los múltiplos de [math] p [/ math] y cuántos hay? [matemáticas] 1p, 2p, 3p, …, pp, (p + 1) p, …, (p ^ {e-1} -2) p, (p ^ {e-1} -1) p = p ^ {e} -p [/ math]
Hay [math] p ^ {e-1} -1 [/ math] términos, y esta es una secuencia aritmética con diferencia común [math] p [/ math]. Eso significa que la suma es [matemáticas] (p ^ {e-1} -1) \ cdot (p + (p ^ ep)) / 2 [/ matemáticas], entonces el promedio es [matemáticas] p ^ e / 2 = n / 2 [/ matemáticas].
Entonces, si tenemos un conjunto de números cuyo promedio es [matemática] n / 2 [/ matemática], y eliminamos un conjunto de números cuyo promedio es [matemática] n / 2 [/ matemática], entonces los números restantes también tienen promedio [matemáticas] n / 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tanto los múltiplos de [math] p [/ math], como los números relativamente primos con [math] p ^ e [/ math], ambos tienen un promedio [math] p ^ e / 2 [/ math].
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Deberíamos poder generalizar esto a cualquier número compuesto. Veamos qué sucede con un caso que podría causarnos problemas, donde el mismo número es múltiplo de dos primos diferentes que factorizan n. Deje [math] n = a ^ 2b ^ 2 [/ math] para dos primos [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Entonces los números que no son relativamente primos son:
[matemáticas] a, 2a, 3a,… (ab ^ 2-1) a [/ matemáticas]
[matemáticas] b, 2b, 3b,… (a ^ 2b-1) b [/ matemáticas]
pero algunos números aparecen en ambas listas:
[matemáticas] ab, 2ab, 3ab, …, (ab-1) ab [/ matemáticas]
Entonces, ajustando para el conteo doble, el total de todos los números no primos es
[matemáticas] (ab ^ 2-1) (a ^ 2b ^ 2) / 2 + (a ^ 2b-1) (a ^ 2b ^ 2) / 2 – (ab-1) (a ^ 2b ^ 2) / 2 = (ab ^ 2-1 + a ^ 2b-1 – ab -1) (a ^ 2b ^ 2) / 2 [/ matemáticas]
y hay [math] ab ^ 2-1 + a ^ 2b-1 + ab – 1 [/ math] no coprimes. Entonces, el promedio de los no coprimos (y por lo tanto de los coprimos) es [matemática] n / 2 [/ matemática] nuevamente.
Por lo tanto, podemos mostrar que el promedio de los no coprimos de cualquier número es n / 2, utilizando el siguiente argumento:
Factor n.
El promedio de todos los números que son múltiplos de cada factor de potencia primo de n tiene un valor promedio n / 2.
El promedio de todos los números que son múltiplos de pares, triples, cuádruples, etc. de números primos y potencias primarias de n también tiene un valor promedio n / 2.
Por lo tanto, cualquier combinación de sumar y restar estos conjuntos también tiene un valor promedio n / 2. En particular, el uso de la inclusión / exclusión para sumar todos los números no primos juntos da como resultado un valor medio de n / 2.
Por lo tanto, los números coprimos también deben tener un valor medio n / 2.