¿Cuál es el significado de ‘Ring of Integers modulo p’?

Answer 1

Divida los enteros en conjuntos de la siguiente manera: dos números [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] pertenecen al mismo conjunto si su diferencia es un múltiplo de [matemática] p [/ matemática].

Por ejemplo, los números enteros mod 3 forman tres conjuntos diferentes:

{-6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, …}

{-7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …}

{-8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …}

Estos conjuntos se denominan módulos de clases de congruencia [math] p [/ math]. “módulo” puede considerarse como “resto cuando se divide por”, y puede verificar que todos los números en cada clase tengan el mismo resto (positivo) cuando se dividen entre 3. Por lo general, elegimos un solo número de cada conjunto como su representante (0, 1 y 2 en mi ejemplo) por conveniencia. Los escribiré como [matemática] 0_3 [/ matemática], [matemática] 1_3 [/ matemática], [matemática] 2_3 [/ matemática] para distinguirlos de los números habituales; recuerde que estas son clases de congruencia.

¿Qué sucede si agregamos dos enteros de diferentes clases de congruencia (o lo mismo)? Podemos mostrar que la clase de congruencia del resultado es independiente del representante que elegimos. Es decir, podemos realizar la adición de clases de congruencia seleccionando cualquiera de los dos elementos de esas clases de congruencia y agregándolos, luego encontrando la clase de congruencia que contiene el resultado. Por ejemplo, si quiero agregar [matemáticas] 1_3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2_3 [/ matemáticas], podría elegir -5 y 11, agregarlos para obtener 6, y luego ver que 6 está en la clase de congruencia [matemáticas] 0_3 [/ matemáticas]. Entonces,

[matemáticas] 1_3 + 2_3 = 0_3 [/ matemáticas]

O, más usualmente, [matemáticas] 1 + 2 \ equiv 3 \ pmod {3} [/ matemáticas]

La multiplicación funciona de la misma manera. (Todas estas afirmaciones pueden probarse rigurosamente, pero esta explicación ya es demasiado larga). Lo mismo ocurre con las propiedades normales de ‘0’ y ‘1’, la ley distributiva e incluso la resta.

[matemáticas] x_p + 0_p = x_p [/ matemáticas]

[matemáticas] x_p * 1_p = x_p [/ matemáticas]

[matemáticas] a_p * (b_p + c_p) = a_p * b_p + a_p * c_p [/ matemáticas]

[matemáticas] a_p + -a_p = a_p + (-a) _p = 0_p [/ matemáticas]

Un conjunto con todas estas propiedades matemáticas se llama anillo . Tomar el módulo de enteros [math] p [/ math] es solo una posible forma de construir un anillo.

En la práctica, a menudo tratamos el anillo de números enteros módulo [math] p [/ math] como si fueran “los números enteros, pero tomamos el resto después de la división por [math] p [/ math] al final”. Y esto funciona principalmente, pero en realidad no explica cómo hacer la división (que es posible en un anillo, pero no se garantiza que exista para todos los elementos del anillo).

Pero, la construcción que usa clases de congruencia es muy general y se puede aplicar a un anillo para crear otro anillo, llamado anillo de cociente . El anillo de enteros mod p es el “anillo de cociente” de los enteros bajo el “ideal” [matemático] p \ Z [/ matemático], es decir, los números que son múltiplos de [matemático] p [/ matemático].

Answer 2

El anillo de números enteros módulo n para cualquier número entero positivo n es el anillo con las clases equivalentes módulo n con la suma y multiplicación correspondientes. Por ejemplo, si n = 1, entonces todos los enteros son equivalentes a 0, el módulo 1 o cada entero tiene el resto 0 cuando divide el entero entre [math] 1 [/ math]. Por lo tanto, tenemos un anillo con un elemento, denotado por [math] \ bar {0} [/ math]. Si [math] n = 6 [/ math], el resto si dividimos m, donde m es un entero arbitrario es 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Por lo tanto, tenemos un anillo con [math] \ {\ bar {0}, \ bar {1}, \ bar {2}, \ bar {3}, \ bar {4}, \ bar {5} \} [/ math] por la suma y multiplicación correspondientes. Es decir, por ejemplo, [math] \ bar {3} + \ bar {4} = \ bar {7} = \ bar {1} [/ math], porque 1 y 7 tienen el mismo resto cuando los divide por 6. Además, [math] \ bar {3} \ times \ bar {4} = \ bar {12} = \ bar {0} [/ math]. Le gusta que hagas la aritmética por regla “semanal”. Si n = 7, [matemática] \ bar {4} + \ bar {5} = \ bar {9} = \ bar {2} [/ matemática].

Por cierto, olvidé mencionar que este tipo de anillo es el truco detrás del famoso sistema criptográfico RSA con [math] n = pq [/ math], donde p y q son números primos de aproximadamente 100 a 200 dígitos hoy en día, en realidad leí un artículo de investigación hace dos días, estudiando en el sistema criptográfico RSA extendido usando [math] n = pqr [/ math], con [math] p, q [/ math] y r siendo primos. Pero, el estudio actual parece concentrarse solo en el subgrupo multiplicativo de esos factores distintos de cero o esas clases equivalentes con respecto a a, donde a es coprimo a n. Sin embargo, podemos estudiar todo el grupo multiplicativo con factores cero, como [matemática] \ bar {2} \ bar {3} = \ bar {6} = \ bar {0} [/ matemática] cuando [matemática] n = 6 [/ math], exhibido como arriba.

Este anillo no es un campo, a menos que [math] n [/ math] sea un primo como usted preguntó. cuando [math] n [/ math] es primo, es un campo con n elementos, que se llama campo finito. Estudiar campos finitos es en álgebra, estudiar los anillos de congruencia en la teoría de números, que hoy en día es un tema candente, ya que RSA es una de las herramientas muy útiles en seguridad de Internet y criptografía.

Answer 3

Significa el anillo que obtienes cuando defines la multiplicación y la suma, ya que las operaciones serían el módulo “p”.

Te dejo que pruebes que cuando usamos el módulo de suma y multiplicación “p”, de hecho, obtenemos un anillo.