Las ecuaciones lineales son especiales. Si tiene dos soluciones distintas, [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática], aquí hay una manera de generar una tercera: [matemática] z = \ frac {1} {2} \ cdot (x + y) [/ matemáticas]. Si tanto [matemática] x [/ matemática] como [matemática] y [/ matemática] satisfacen [matemática] A (x) = b [/ matemática] y [matemática] A [/ matemática] es un operador lineal, entonces también lo hace [ matemáticas] z [/ matemáticas]. Esto se debe a que [matemática] A (x + y) [/ matemática] debe ser igual a [matemática] A (x) + A (y) [/ matemática] y [matemática] A (r \ cdot x) [/ matemática] debe igual [matemática] r \ cdot A (x) [/ matemática]; Esta es la definición de un operador lineal. Puede pensar en [math] A [/ math] como una de sus n ecuaciones, o puede pensar en [math] A [/ math] como un operador en un espacio vectorial, por lo que abarca todas [math] n [/ matemáticas] ecuaciones.
Eso suena como una prueba de que exactamente dos soluciones son imposibles. De hecho, una vez que tengamos la nueva solución, podríamos repetir el proceso para producir más de tres soluciones.
Pero hay algunas preguntas que podrías plantear. ¿Qué sucede si [matemáticas] \ frac {1} {2} \ cdot (x + y) = x [/ matemáticas]? Entonces z solo sería un duplicado. Reorganizar los términos da [math] x = 2 \ cdot y [/ math]. Muy interesante. Entonces, en el caso especial de que [matemática] x = 2 \ cdot y [/ matemática], mi [matemática] z [/ matemática] es solo un duplicado. Del mismo modo, [math] y = 2 \ cdot x [/ math] también causaría que [math] z [/ math] sea un duplicado.
Entonces, tal vez sea posible, si una de las dos soluciones distintas es dos veces la otra. Hemos reducido el problema al estudio del caso [matemáticas] x = 2 \ cdot y [/ matemáticas].
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Tome [matemáticas] A [/ matemáticas] de ambos lados. Esto da [math] b = 2 \ cdot b [/ math], lo que significa [math] b = 0 [/ math]. En este caso, cualquier múltiplo de cualquiera de las soluciones es una solución. En particular, [matemáticas] x, y, x + y, xy, y + y, 57 \ cdot y [/ matemáticas], son todas las soluciones. Esto se deduce de que [math] A [/ math] es un operador lineal y cualquier cosa por cero es cero.
¡Excelente! En el único caso problemático, tenemos un método alternativo para construir una nueva solución.
Entonces, una vez más, parece que tenemos una prueba. Pero debemos comprobar que este método alternativo realmente produce soluciones distintas.
Podría suceder que [matemáticas] x + y = y [/ matemáticas]. Eso solo significa que [math] x [/ math] es el vector cero. Bueno, entonces ¿no podemos simplemente tomar [matemáticas] 57 \ cdot y [/ matemáticas]? Como [math] y [/ math] es distinto de [math] x [/ math], no es cero, y ¿cómo podría [math] 57 \ cdot y = y [/ math]? En términos más generales, ¿cómo podría [math] r \ cdot y = y [/ math] para todos los que no son cero [math] r [/ math]?
Resta y de ambos lados y obtenemos [math] (r-1) \ cdot y = 0 [/ math]. ¡Ajá! Como se mencionó en las otras respuestas, esto no sucederá en números reales o números complejos, y esto aquí es la prueba. Los números reales y complejos tienen la propiedad de que son campos cero característicos , lo que significa que la ecuación [math] p \ cdot y = 0 [/ math] tiene una sola solución: p = 0. Por lo tanto, en el caso de los campos cero característicos, tenemos la garantía de que [math] y [/ math] y cada múltiplo de [math] y [/ math] son distintos.
¿Qué pasa con esos campos que no tienen la característica 0? Sí, ellos existen. En general, decimos que un campo es característico [math] p [/ math] if [math] p \ cdot y = 0 [/ math] para todos [math] y [/ math]. A menudo suponemos que p es el número más pequeño que es positivo. Entonces podría ser que [matemáticas] 57 \ cdot y = y [/ matemáticas]. (esto estaría en un campo de la característica 56, o 28, o 7, o cualquier factor de 56).
Bueno, siempre y cuando la característica de nuestro campo sea mayor que 2, estamos cubiertos. Después de todo, solo estamos buscando 3 soluciones, y [matemática] 0, y [/ matemática] y [matemática] 2 \ cdot y = y + y [/ matemática] son distintas si la característica es mayor que 2.
Hemos demostrado que en la gran mayoría de los casos, dos soluciones distintas nos dan una forma de construir una tercera solución distinta. Excepto que no estamos seguros sobre los campos de la característica 2. Y, de hecho, este es el final de la historia. Es posible, en un campo de la característica 2, tener solo dos soluciones para un sistema de n ecuaciones. Según los hechos mencionados en la prueba, esto solo sucederá si [math] x = 2 \ cdot y [/ math] se cumple, lo que ahora significa [math] x = 0 [/ math]. Por lo tanto, el sistema debe ser homogéneo y estar sobre un campo de dos características.
Construir un ejemplo es particularmente fácil si el campo es finito. El campo finito de orden dos tiene la característica dos, y la ecuación [matemáticas] 2 \ cdot x = 0 [/ matemáticas] tiene exactamente dos soluciones.