Deje [math] y = p / q [/ math] y [math] x = r / s [/ math] y suponga que todos estos son positivos y se expresan en términos más simples. Usaremos el algoritmo euclidiano sin pruebas varias veces aquí.
Entonces, [matemáticas] p ^ 2s ^ 3 = q ^ 2 (r ^ 3 + rs ^ 2) = q ^ 2r (r ^ 2 + s ^ 2) [/ matemáticas]
Como [math] \ gcd (s, r) = 1 [/ math], sabemos que [math] \ gcd (s, r ^ 2 + s ^ 2 [/ math] [math]) = \ gcd (s, r ^ 2) = 1 [/ matemáticas].
Por lo tanto, dado que [math] \ gcd (p, q) = 1, \ s ^ 3 = q ^ 2 [/ math]. Del mismo modo, [matemáticas] p ^ 2 = r (r ^ 2 + s ^ 2) [/ matemáticas].
- ¿Qué es [matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ left | e ^ {\ frac {2 \ pi ik} {n}} – e ^ {\ frac {2 \ pi i (k-1)} {n}} \ right | [/ math]?
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Como [math] \ gcd (r, r ^ 2 + s ^ 2) = \ gcd (r, s ^ 2) = 1 [/ math], tanto [math] r [/ math] como [math] r ^ 2 + s ^ 2 [/ math] deben ser cuadrados.
Observe que [matemáticas] s ^ 3 = q ^ 2 [/ matemáticas] implica que s también es un cuadrado perfecto.
Reemplazando [math] s = a ^ 2 [/ math] y [math] r = b ^ 2 [/ math], obtenemos que [math] a ^ 4 + b ^ 4 [/ math] debe ser un cuadrado perfecto, lo cual es una imposibilidad bien conocida.
(Se muestra que a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2 se puede hacer siguiendo esta página: Prueba de que no hay solución para A ^ 4 + B ^ 4 = C ^ 2 usando descenso infinito. O use esto: Prueba de descenso infinito )