¿Qué es [matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ left | e ^ {\ frac {2 \ pi ik} {n}} – e ^ {\ frac {2 \ pi i (k-1)} {n}} \ right | [/ math]?

Answer 1

Los puntos [matemática] e ^ {\ frac {2 \ pi ik} {n}} [/ matemática] se encuentran en el círculo unitario de [matemática] 0 \ leq k \ leq n [/ matemática]. La suma dada equivale al uso del método de Arquímedes para calcular la circunferencia de un círculo a través de aproximaciones sucesivas utilizando polígonos regulares. (Si esto no es evidente para usted, intente trazar las expresiones de módulo en el sumando como distancias en el plano Argand). Por lo tanto, el valor límite es la circunferencia del círculo unitario, [matemática] 2 \ pi [/ matemática].

ADVERTENCIA: El siguiente argumento, aunque perfectamente riguroso y coherente, es más complejo y avanzado de lo necesario para la solución de este problema. Es, sin embargo, instructivo; Sin embargo, Arun Iyer proporciona una solución mucho más simple.

Aquí hay un enfoque más riguroso. El teorema del valor medio implica que debemos tener lo siguiente para algunas [matemáticas] 2 \ pi (k-1) / n <c_k, \, d_k <2 \ pi k / n [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ left | e ^ {2 \ pi ik / n} – e ^ {2 \ pi i (k-1) / n} \ right | [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt {(\ cos (2 \ pi k / n) – \ cos (2 \ pi (k-1) / n)) ^ 2 + (\ sin (2 \ pi k / n) – \ sin (2 \ pi (k-1) / n)) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {2 \ pi} {n} \ sqrt {\ sin ^ 2 (c_k) + \ cos ^ 2 (d_k)} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el límite dado puede expresarse como

[matemáticas] \ displaystyle L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 \ pi} {n} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ sqrt {\ sin ^ 2 (c_k) + \ cos ^ 2 (d_k)} = \ lim_ {n \ to \ infty} L_n [/ math]

Definir

[matemáticas] \ displaystyle M_n = \ max_ {k \ leq n} \ sqrt {\ sin ^ 2 (c_k) + \ cos ^ 2 (d_k)} [/ math]

y

[matemáticas] \ displaystyle m_n = \ min_ {k \ leq n} \ sqrt {\ sin ^ 2 (c_k) + \ cos ^ 2 (d_k)} [/ math]

podemos estimar

[matemáticas] m_n 2 \ pi \ leq L_n \ leq M_n 2 \ pi [/ matemáticas]

Sin embargo, el teorema de compresión implica los resultados que [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} m_n = \ lim_ {n \ to \ infty} M_n = 1 [/ matemática]. Aplicando el teorema de compresión una vez más a la desigualdad anterior, tenemos que [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} L_n = L = 2 \ pi [/ matemática].

Nota: La prueba rigurosa puede parecer pedantería, pero si da por sentado ciertas cosas sin probarlas, puede terminar “probando” que [matemáticas] \ pi = 4 [/ matemáticas]:

Answer 2

* A2A *

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi k} {n} \ right) – \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi (k-1)} {n} \ right) \ right | ^ 2 = 2 – 2 \ cos \ frac {2 \ pi} {n} = 4 \ sin ^ 2 \ frac {\ pi} {n} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi k} {n} \ right) – \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi (k-1)} {n} \ right) \ right | = 2 \ sin \ frac {\ pi} {n} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ left | \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi k} {n} \ right) – \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi (k-1)} {n} \ right) \ right | = \ sum_ {k = 1} ^ n 2 \ sin \ frac {\ pi} {n} = 2n \ sin \ frac {\ pi} {n} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n \ left | \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi k} {n} \ right) – \ exp \ left (i \ frac {2 \ pi (k-1)} {n} \ right) \ right | = \ lim_ {n \ to \ infty} 2n \ sin \ frac {\ pi} {n} = 2 \ pi \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sin \ frac {\ pi} {n}} {\ frac {\ pi} {n}} = 2 \ pi [/ math]

Answer 3

Es la respuesta 2 Pi iota