n es un número entero positivo, de modo que tanto n como n + 99 es un número cuadrado. ¿Cómo encuentro cada número n que tiene esta propiedad?

Answer 1

Respuesta de jardín de infantes

Por lo tanto, el área verde es igual a 99. Debido a que cada franja verde individual es impar (“dos lados y un mosaico de esquina”), el número total de franjas verdes debe ser impar.

El área de la franja central es igual al área promedio de la franja de todas las franjas. Por lo tanto, el número impar de tiras debe dividir 99.

Soluciones posibles

1 tira: la tira del medio es [matemáticas] 99 = 1 + 2 * 49 \ implica n = 49 ^ 2 [/ matemáticas]

3 tiras: la tira central es 33, la tira más pequeña es [matemática] 31 = 1 + 2 * 15 \ implica n = 15 ^ 2 [/ matemática]

9 tiras: la tira del medio es 11, la más pequeña es [matemática] 3 = 1 + 2 * 1 \ implica n = 1 ^ 2 [/ matemática]

¿Y 11 tiras? No, la tira más pequeña no puede tener un área de -1

Answer 2

Entonces, queremos [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n = k ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 99 + n = l ^ 2 [/ matemática] para algunos enteros [matemática] k, l [ /matemáticas]. Podemos suponer que ambos son positivos.

Obtenemos que [matemáticas] l ^ 2 – k ^ 2 = 99 [/ matemáticas], y sabemos que [matemáticas] l ^ 2-k ^ 2 = (lk) (l + k) [/ matemáticas].

Los factores de 99 son: 1,3,9,11,33,99. Sabemos que [math] (lk) <(l + k) [/ math], por lo que [math] (lk) [/ math] puede ser 1, 3 o 9. Podemos establecer [math] lk [/ math] igual a cualquiera de estos y vea cuál debería ser el valor correspondiente de [math] l + k [/ math]:

• [matemáticas] lk = 1, l + k = 99 [/ matemáticas]. La solución a esto es [matemática] l = 50, k = 49 [/ matemática] y [matemática] n = 2401 [/ matemática].
• [matemáticas] lk = 3, l + k = 33 [/ matemáticas]. La solución a esto es [matemática] l = 18, k = 15 [/ matemática] y [matemática] n = 225 [/ matemática].
• [matemáticas] lk = 9, l + k = 11 [/ matemáticas]. La solución a esto es [matemáticas] l = 10, k = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas].

Esas son las únicas soluciones.

Answer 3

Aquí hay una manera simple de hacerlo (incluso en tu cabeza).

Sabemos que [matemática] n = r ^ 2 [/ matemática] y [matemática] n + 99 = s ^ 2 [/ matemática] (todos los enteros positivos). Si la diferencia entre los dos números desconocidos es [matemática] d [/ matemática], entonces:

[matemáticas] n + 99 = r ^ 2 + 99 = (r + d) ^ 2 = r ^ 2 + 2rd + d ^ 2 [/ matemáticas]

Quitando [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas] de ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] 99 = 2º + d ^ 2 = d (2r + d) [/ matemáticas]

Como [math] d [/ math] y [math] r [/ math] son ​​enteros positivos, [math] d [/ math] solo puede tomar tres valores: [math] 1 [/ math], [math] 3 [/ math] y [math] 9 [/ math]. Esto se debe a que [matemáticas] 99 [/ matemáticas] solo se puede dividir en dos factores de tres maneras: [matemáticas] 1 * 99 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 * 33 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 * 11 [ /matemáticas]. Dado que el primer factor ([matemática] d [/ matemática]) es el más pequeño, debe ser [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática] o [matemática] 9 [/ matemática]. En consecuencia, [matemática] 2r + d = [/ matemática] [matemática] 99 [/ matemática], [matemática] 33 [/ matemática] o [matemática] 11 [/ matemática], respectivamente.

Estas tres posibilidades nos dan las tres soluciones:

(1) [matemática] r = 49 [/ matemática] y [matemática] s = 50 [/ matemática] ([matemática] d = 1 [/ matemática])

(2) [matemática] r = 15 [/ matemática] y [matemática] s = 18 [/ matemática] ([matemática] d = 3 [/ matemática])

(3) [matemática] r = 1 [/ matemática] y [matemática] s = 10 [/ matemática] ([matemática] d = 9 [/ matemática])

Answer 4

Dos cuadrados consecutivos [matemática] k ^ 2 [/ matemática] y [matemática] (k + 1) ^ 2 [/ matemática] difieren en [matemática] 2k + 1 [/ matemática]. Eso nos da un límite superior de cuán grande debemos mirar un cuadrado, ya que después de cierto punto la diferencia entre * cualquiera * dos cuadrados debe ser mayor que 99.

[matemática] 2k + 1 <= 99 [/ matemática] cuando [matemática] k <= 49 [/ matemática].

Ese límite en realidad nos da la primera solución también; cuando [matemática] 2k + 1 = 99 [/ matemática], entonces los cuadrados son [matemática] 49 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 50 ^ 2 [/ matemática], entonces n = 2401.

El examen de la fuerza bruta de las otras 48 posibilidades nos da las soluciones restantes

n = 1 ([matemáticas] 1 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 ^ 2 [/ matemáticas])

n = 225 ([matemáticas] 15 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 18 ^ 2 [/ matemáticas])

>>> cuadrados = set (x * x para x en xrange (1, 51))
>>> [s para s en cuadrados si s + 99 en cuadrados]
[1, 2401, 225]

(Por supuesto, el enfoque basado en factoring que le dieron los demás es mucho más flexible y escalable. Pero es mucho más difícil de automatizar).