Piense en ‘división’ como ‘multiplicación inversa’. Para dividir por un número entre [matemáticas] a [/ matemáticas] multiplicamos el número por el inverso multiplicativo de [matemáticas] a [/ matemáticas].
Entonces, ¿qué es un inverso multiplicativo? Para cualquier número [math] a [/ math], su inverso multiplicativo, [math] a ‘[/ math], es el número para el cual [math] a \ cdot a’ = 1 [/ math]. En otras palabras, multiplicando un número por sus resultados inversos en [math] 1. [/ Math]
Ejemplo : Considere los números reales con sumas, multiplicaciones, etc. normales. Intentemos dividir un número [matemática] r [/ matemática] por [matemática] 5 [/ matemática]. En lugar de llevar a cabo la división, podemos multiplicar [matemática] r [/ matemática] por el inverso multiplicativo de [matemática] 5 [/ matemática], que es [matemática] 1/5 [/ matemática], porque [matemática] 5 \ cdot \ frac {1} {5} = 1 [/ matemáticas]. Esto nos da esta identidad obvia:
[matemáticas] r \ div 5 = r \ cdot \ frac {1} {5} [/ matemáticas].
- ¿Puedes resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – 1 = 2 (y + z) + \ frac {y ^ 2 -1} {2z} [/ matemáticas] sobre los enteros positivos?
- Con respecto a los semiprimes Si me conecto y busco todos los números primos conocidos, ¿por qué no podría crear una tabla de referencia de todos los semiprimes conocidos?
- ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los recíprocos de todos los primos gemelos? ¿Qué pasa si los cuadrados se reemplazan por enésimas potencias?
- Para qué valor (es) de [matemática] n [/ matemática] ([matemática] n \ in \ mathbb {N} [/ matemática]) la suma de dígitos en [matemática] n ^ 2 [/ matemática] es igual a [ matemáticas] 51 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el resto cuando [matemática] 9 ^ {101} [/ matemática] se divide por [matemática] 125 [/ matemática]?
Desafortunadamente, encontrar el inverso multiplicativo en aritmética modular no es tan obvio y, de hecho, algunos números pueden no tener inversos, mientras que otros sí. Y los números sin inversos pueden dividir algunos números, pero no otros. Es por eso que, en general, no se puede dividir en aritmética modular .
Ejemplo 1 : Aunque 3 no tiene inverso (mod 12), 3 divide 9.
[matemáticas] \ quad 9 \ div 3 = 3 [/ matemáticas] (mod 12).
Ejemplo 2 : [math] 7 \ div 3 [/ math] mod 12 no se puede calcular. No hay un número [matemático] x [/ matemático] tal que [matemático] 3 \ cdot x = 7 [/ matemático] mod 12.
Sin embargo, si existe un inverso para un número [matemático] a [/ matemático], entonces podemos dividir cualquier número entre [matemático] a [/ matemático].
Condición : existe el inverso multiplicativo de un número [matemática] a [/ matemática] (módulo [matemática] m [/ matemática]), si y solo si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] m [/ matemática] son primos (es decir, si mcd ([matemática] a [/ matemática], [matemática] m [/ matemática]) = [matemática] 1 [/ matemática]).
El origen de esa condición no es obvio, pero considere el caso especial cuando [math] m [/ math] es primo. Entonces mcd ([matemática] a [/ matemática], [matemática] m [/ matemática]) = [matemática] 1 [/ matemática] para todos [matemática] a [/ matemática]. Es decir, si está modificando por un número primo, entonces cada elemento (que no sea cero) tendrá un inverso multiplicativo. Y así puedes dividir a voluntad. (¡Excepto por cero! [Matemáticas] 0 [/ matemáticas] no tiene inverso!).
Ejemplo : modifiquemos por 7 y calculemos los inversos:
[matemáticas] \ begin {align *} \ text {inverso de} 0 & = \ text {NINGUNO}, \\ \ text {inverso de} 1 & = 1, \ quad \ text {(1 es su propio inverso)} \\ \ text {inverso de} 2 & = 4, \ quad \ text {(desde} 2 \ cdot 4 = 8 = 1 \ text {mod 7)} \\ \ text {inverso de} 3 & = 5, \ quad \ text { (desde} 3 \ cdot 5 = 15 = 1 \ text {mod 7)} \\ \ text {inverso de} 4 & = 2, \\ \ text {inverso de} 5 & = 3, \\ \ text {inverso de} 6 & = 6, \ quad \ text {(desde} 6 \ cdot 6 = 36 = 1 \ text {mod 7)} \\ \ end {align *} [/ math]
Lo que da una propiedad ordenada que multiplica un número por [matemática] 6 [/ matemática] y la divide por [matemática] 6 [/ matemática] da el mismo resultado mod 7. Y, dado que cada elemento distinto de cero tiene un inverso , este es un anillo de división, en el que puede dividir cualquier número por cualquier otro número que no sea cero.
Enlaces :
- Inverso multiplicativo modular
- Anillo de división