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Método 1 – Teorema de Euler
Primero, necesitaremos calcular el Totient de Euler para el divisor.
ET (125) = 125 * (1 – 1/5) = 125 * (4/5) = 100
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Ahora, según el teorema de Euler, podemos decir que
Rem [a ^ 100/125] = 1 si ay 125 son coprimos entre sí o, en otras palabras, HCF (a, 125) = 1
Necesitamos averiguar el resto [9 * 101/125]
= Resto [9 * 9 ^ 100/125]
= Resto [9 * 1/125]
= 9
Método 2 – Expansión binomial
9 ^ 101 = (10-1) ^ 101
Esto tendrá un total de 102 términos en su expansión.
La potencia de 10 en estos 102 términos será 0, 1, 2 … 101
Si la potencia de 10 es más de 2, será divisible por 1000 y, por lo tanto, será divisible por 125. Entonces, para encontrar el resto de 125, solo debemos considerar tres términos donde la potencia de 10 es 0, 1 , y 2
Esos tres términos son
= 101C0 * 10 ^ 0 * (-1) ^ 101 + 101C1 * 10 ^ 1 * (-1) ^ 100 + 101C2 * 10 ^ 2 * (-1) ^ 99
= 1 * 1 * (- 1) + 101 * 10 * 1 + 5050 * 100 * (- 1)
= -1 + 1010 – 505000
= 1009 – 505000
Entonces, cuando estamos descubriendo el resto de 9 ^ 101 de 125 podemos reescribirlo como se indicó anteriormente.
=> Resto [9 ^ 101/125]
= Resto [(1009 – 505000) / 125]
= Resto [(9-0) / 125]
= 9
Espero que esto te ayude a resolver la pregunta. Además, intente comprender ambos métodos para poder resolver preguntas similares en el futuro fácilmente.